经典振动理论基础.ppt

如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。 例16-6 ..。.. * 解：取摆角 为广义坐标，设其微振动规律为 圆柱体中心O1的速度 由运动学知，当圆柱体作纯滚动时， 角速度 系统动能 ..。.. * 整理后得 系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为势能零点，则系统势能 圆柱体作微振动 ..。.. * 由 得 ..。.. * §16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动 由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼。即 式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼介质的性质和物体的形状。 ..。.. * 1、有阻尼自由振动微分方程的标准形式 图（a）为一有阻尼的质量--弹簧系统。取平衡位置为坐标原点，受力如图（b）。 阻力 微分方程为 或 化简得 代入上式得衰减振动微分方程的标准形式 令 ..。.. * 2、微分方程的解 设 ，代入式中，得特征方程 方程的两个根 通解 有三种可能情形： ..。.. * ★ 小阻尼情形 当 或 时，称为小阻尼。 此时 令 则 得运动方程 如图所示。由于振幅随时间不断衰减，故称为衰减振动。 ..。.. * 衰减振动的周期 令 称为阻尼比。 周期Td较无阻尼自由振动的周期T 略有增加。阻尼对周期的影响很小，可忽略不计，取Td≈T。 则 ..。.. * 阻尼对振幅的影响 为描述振幅 Ai 的衰减，引入减幅系数η（或称振幅缩减率）。由图示得 上式表明：衰减振动的振幅按几何级数递减。阻尼对自由振动的振幅影响较大。 例如：ζ＝0.05时，Td＝1.00125T而经过10个周期后，振幅只及原振幅的4.3%。 ..。.. * 初始幅值 A 和初位相θ取决于初始条件。 对上式两边取对数得对数缩减率 所以 设t＝0时， ， ，则有 ..。.. * ★ 临界阻尼情形 当 或 时，称为临界阻尼。 此时， 。微分方程的解为 不具有振动的特点，积分常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。 ..。.. * ★ 大阻尼情形 当 或 时，称为大阻尼。 此时微分方程的解为 积分常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。 ..。.. * 图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为k1，圆盘对杆轴的转动惯量为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，其衰减扭振的周期为Td。求圆盘所受阻力偶的矩与转动角速度的关系。 例16-7 ..。.. * 解：盘外缘切向阻力与转动速度成正比，则此阻力偶矩M 与角速度ω成正比，且转向相反。 设 ，μ为阻力偶系数，则圆盘绕杆轴转动的微分方程为 或 由此得衰减振动周期 ..。.. * 则阻力偶系数 得 ..。.. * §16-4 单自由度系统的受迫振动 振动系统在外加持续激励下的振动称为受迫振动。下面仅讨论简谐激励情形。图示为三种类型的简谐激励，分别是：激励力直接作用；弹簧端点运动引起的激励和偏心转子引起的激励。 ..。.. * 1、激振力直接作用下的受迫振动 ★ 振动微分方程 图为受迫振动系统的简化模型。 激振力 其中，H为最大激振力，ω为激振力的圆频率。 以平衡位置为坐标原点，则 ： 令 整理化简后，得单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式 ..。.. * ★ 微分方程的解 方程的通解由两部分构成：对应的齐次方程的通解和该方程的一个特解。 上式右端第一项为衰减振动，经过短暂时间，即趋于衰减，称瞬态响应。最后得到持续的等幅振动，称稳态响应，即系统的受迫振动 由式可知，受迫振动的频率等于激振力的频率。 将上式代入微分方程式，化简后得到受迫振动的振幅和位相差 ..。.. * 式中 分别称为频率比、阻尼比和由最大激振力引起的弹簧的静变形。 ..。.. * 受迫振动的振幅与静变形之比称放大系数，即 当ζ一定，β与λ间的关系如图所示，称为幅频特性曲线。由图可知： ★ 幅频特性 ①当λ＜＜1时，阻尼对振幅的影响很小，可忽略不计。②共振区λ =0.75～1.25。在此区域内阻尼对振幅有显著影响，λ≈1时，振幅急剧增加出现峰值的现象，称为共振。对应曲线峰值的频率，称为系统的共振频率。 ..。.