高二期末复习导数与定积分.docVIP

PAGE PAGE 6 导数与定积分 1. 常见函数的导数公式： ；；； ； ；； 2.法则1 ；法则2 , ；法则3 3.导数的实际意义：(1)曲线在点处的导数为该点处切线的斜率；(2)位移在时的导数为时的瞬时速度；(3) 速度在时的导数为时的瞬时加速度 4.复合函数的导数： (理科) 5.函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 6.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域，求导数(2)求方程=0的根(3)用导函数的零点，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格.检查在零点左右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个零点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个零点取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个零点处无极值 7.利用导数求函数的最值：设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值 8.设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个区间的长度为△x,在每个区间上取一点,依次为x1,x2,…xi,…xn.作和Sn=f(x1) △x+f(x2) △x+…+f(xi) △x+…+f(xn) △x,如果△x无限趋近于0(亦即n趋向于+∞)时,Sn无限趋近于常数S,那么称该常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作 9.定积分的几何意义： 在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(即x轴上方图形的面积减去x轴下方的图形面积).(1)当时，积分在几何上表示由y=f (x)，x=a，x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积 (2)当f(x)￡0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方， 积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值： (3)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为 (4)设物体在变力F=F(r)的方向上有位移，则F在位移区间[a, b]内所做的功W为 10.微积分基本定理 如果f(x)是区间[a,b] 上的连续函数，并且F’(x)=f(x),则 或 题型一：利用导数几何意义求切线方程 已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程 题型二：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。 例2．设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（Ⅰ）求，，的值； （Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值． 例3.已知三次函数在和时取极值，且． (1) 求函数的表达式； (2) 求函数的单调区间和极值；(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件 例4.已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值． 题型三：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 例5.设函数（1）求函数的单调区间、极值.（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围. 题型四：利用导数研究方程的根 例6.设为实数，函数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点． 题型五：导数在实际中的应用 例7.（重庆文20）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽 之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 例8. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式； ②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 题型六：微积分基本定理 ____________ ____________ 抛物线与围成的图形的面积___________ 直线与抛物线围成的图形的面积___________ 导数与定积分 1.直线运动的物体的速度与时间的关系为，则在前内物体的平均加速度 是 ，在时的瞬时加速度是 2.曲线在点处的切线方程是，则 3.过点的切线的斜率是 4.写出下列函数的导数：（1） ；（2） ；