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第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 8 页 第十八章 勾股定理 一、本章知识结构图： 实际问题 实际问题 （判定直角三角形） 实际问题 （直角三角形边长计算） 勾股定理 勾股定理的逆定理 二、主要内容： 1、直角三角形的性质与判定小结 （1）直角三角形的性质： 角的关系：直角三角形两锐角互余。 边的关系：直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。 （2）直角三角形的判定： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形。 ③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。 2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c，由勾股定理知道：。变形得：，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。 3、已知一边和其它两边关系或已知三边关系，利用勾股定理列方程。 4、用勾股定理证明有关平方关系，作长为的线段。 5、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边： （1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：。 （2）含有45°的直角三角形的三边的比为：。 （3）等边三角形的边长为，则高为，面积为。 6、无论是用勾股定理还是逆定理首先要找最长边，同时注意书写格式。 7、记一些常用的勾股数。如：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41等等。它们同时乘以一个正数，仍满足勾股定理的逆定理。 三、例题与习题： 1. 在△ABC中,∠A=90°,则下列式子中不成立的是（ ）. A. B. C. D.. 2．已知的三边长分别为5，13，12，则的面积为（ ） A．30 B．60 C．78 D．不能确定 3．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ） （A）如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形 （B）如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90° （C）如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形 （D）如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形 4. 适合下列条件的三角形ABC 中，直角三角形的个数为（ ）. ①②a=b,∠A=45°;③∠A=32°,∠B=58°; ④a=7,b=24,c=25; ⑤a=2.5,b=2,c=3. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5． 已知a、b、c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a、b、c为边能组成的三角形是：①腰和底不等的等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是___________________．（只填序号） 6．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ． A A B C 图7-1 图7-2 第6题图 7．图7-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图7-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 8．如图，四边形，，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则 （用含有的代数式表示）． aD a D C B A M c N E F b G H （第8题） （第9题图） A B D C 9.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为、、，则、、之间的关系是 。 10．在直角坐标系中，点在第一象限内，且与轴正半轴的夹角为，则的值是（ ） A． B． C．8 D．2 11． 已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 ． 12.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）. A. B.13cm C.6cm D. 13.边长为a的正三角形的面积等于____________. 14．已知等边三角形的边长为，则的周长是_________，面积是___________