难点攻坚!如何寻找二面角的平面角（必威体育精装版-编写）11005.pdf

寻找二面角的平面角的方法 二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于 二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形 或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法． 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角  例 1 在 60 的二面角 - a -  的两个面内，分别有 A 和 B 两点．已 知 A 和 B 到棱的距离分别为 2 和 4 ，且线段AB  10 ，试求： （1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值； （2）直线AB 与平面 所构成的角的正弦值． 分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60 角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半． 根据题意，在平面  内作 AD  a ；在平面 内作 BE   ， CD //EB ， 连结 B C 、 A C ．可以证明 CD  a ，则由二面角的平面角的定义，可知 AD C 为二面角 - a -  的平面角．以下求解略． 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角  例 2 如图，在平面  内有一条直线 A C 与平面 成 30 ， A C 与棱  BD 成 45 ，求平面 与平面  的二面角的大小． 分析：找二面角的平面角，可过 A 作 AF  BD ； AE  平面 ，连结 FE ．由三垂线定理可证 BD  EF ，则 AFE 为二面 第 1 页 共 6 页 角的平面角． 总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一 个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三 垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的 平面角． （2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、 “证”，即“作 AF  BD ”、“连结EF ”、“证明EF  BD ”． 三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构 成的角，即为二面角的平面角 例 3 如图 1 ，已知P 为 - CD -  内的一点，PA   于 A 点， PB   于B 点，如果 APB  n ，试求二面角 - CD -  的平面角． 图 1 图2 PA    PA  CD 分析：  CD  平面 PAB ． PB    PB  CD 因此只要把平面PAB 与平面 、 的交线画出来即可．证明AEB 为 - CD -  的平面角，AEB  180  n （如图 2）． 注意：这种类型的题，如果过 A 作 AE  CD ，垂足为 E ，连结 EB ， 我们还必须证明EB  CD ，及 AEBP 为平面图形，这样做起来比较麻烦． 例 4 已知斜三棱柱AB C - A B C 中，平面AB 与平面A C 构成的二 1 1 1 1 1 第 2 页 共 6 页   面角的平面角为30 ，平面 AB 与平面B C 构成的二面角为70 ．试求平 1 1 面 A C 与平面B C 构成的二面角的大小． 1 1