5-3-4一元二次方程的公共根与整数根.讲义教师版.docx

一元二次方程的公共根与整数根 中考要求 内容 基本要求 略咼要求 较咼要求 一元二次 方程 了解一元二次方程的概 念，会将一元二次方程化 为一般形式，并指岀各项 系数；了解一元二次方程 的根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所 含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待 定系数的值 一元二次 方程的解 法 理解配方法，会用直接开 平方法、配方法、公式法、 因式分解法解简单的数字 系数的一元二次方程，理 解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程 的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系 数的一元二次方程根的情况及由方 程根的情况确定方程中待定系数的 取值范围；会用配方法对代数式做 简单的变形；会应用一元二次方程 解决简单的实际问题 鈕Ml世 知识点睛 、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法： 设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的 值和公共根. 二、 整数根问题 对于一元二次方程 ax2 ? bx ? c =0 (a =0)的实根情况，可以用判别式 尺-b2 -4ac来判别，但是对于一个 含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具 体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质. 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程 ax2 bx 0 (^^ 0)有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴二b2 -4ac为完全平方数； ⑵ -b 亠- b2 —4ac =2ak 或-b - ? b2「4ac =2ak，其中 k 为整数. 以上两个条件必须同时满足，缺一不可. 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根 (其中a、b、c均为有理数) 三、 方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围. 例题精讲 元二次方程的公共根 【例1】求k的值，使得一元二次方程 x2 ? kx 一1 =0 , x2 ? x ? (k _2) =0有相同的根，并求两个方程的根. 【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有 2 2 a ka-1=0 ……①， a a ( k -2) ^0-…②. ①一②有，ka _1 _a _(k _2) =0，即(k _1)(a _1) =0 , /? k =1，或 a =1 . 当k =1时，两个方程都变为 x2 ? x -1 =0 , ???两个方程有两个相同的根 xb 2 =号叵，没有相异的根； 当a =1时，代入①或②都有k =0 ,此时两个方程变为 x2 -仁0 , x2 ? x -2 =0 . 解这两个方程， x2 —1 = 0 的根为 X1 =1, X2 = -1 ； x2 ■ x —2 =0 的根为 X1 =1, X2 = -2 . x=1为两个方程的相同的根. 【答案】当k=1时，洛送二号5 ;当x=1时，x=1 【巩固】【考点】三个二次方程 ax亠bx 【巩固】 【考点】 三个二次方程 ax亠bx亠c =0 , ⑴求证：a b c 0 ; 3 3 3 ⑵求a b c的值. abc 一元二次方程的公共根 2 bx 亠 cx 亠 a 二 0 , 2 cx ax 0有公共根. 【难度】 【题型】解答 【题型】 解答 【关键词】配方思想 【解析】⑴设上述三个方程的公共根为ax。 【解析】 ⑴设上述三个方程的公共根为 ax。2 bx° c = 0, bx02 cx° 三式相加并提取公因式可得， X。，则有 a = 0 , cx02 ax0 (a b c)(x02 X0 1) =0 b =0 TOC \o 1-5 \h \z 2 1 2 3 b 又 X0 X0 (X0 -) - 0，故 a b ^0，公共根为 Xd=1 或《--1-一 . 4 a ⑵ 由 a3 b3 c3 - 3abc =(a b c)(a2 b2 c2 - ab - be - ca)及 a b c = 0 可知 3 3 I 3 3,3 3 abc - a b c 3abc，故 3. abc 【答案】⑴见解析⑵3 【例2】 试求满足方程 x2 -kx -7 = 0与x2 -6x - (k 1^0有公共根的所有的 k值及所有公共根和所有相异 根. 【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】分类讨论 2 2 【解析】不妨设两个方程的公共根为 xo，则有xo 一曉_7=0， xo _6xo_(kT)=O 两式相减可得，(6 -k)xo ?(k?1)_7=0，即(6—k)(xo _1)=0 若k=6，则xo =1为两个方程的公共根，此时 k=-6，x ，