12-5轴对称类全等问题(2).题库教师版.docx

轴对称类全等问题 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质： ⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 它们具有互逆性. 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式: 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，OA =0B，这种对称的图形应用得也较为普遍，A 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式: 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， OA =0B，这种对称的图形应用得也较为普遍， A 1. 2. 3. BP r P 【例1】 如图所示，在 ABC中，AD是ZBAC的外角平分线， P是AD上异于点 A的任意一点，试比较 PB PC与AB AC的大小，并说明理由. 【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】西城区 2006年抽样测试八年级（上）附加题，黄冈市数学竞赛试题 【解析】PB PC AB AC，理由如下. 如图所示，在 AB的延长线上截取 AE =AC，连接PE . E E ME _ ME _ AD且交AC的延长线于 E , 因为AD是/BAC的外角平分线， 故.CAP =/EAP . 在.ACP 和.AEP 中，AC =AE , . CAP - . EAP , AP 公用, 因此.ACP幻 AEP , 从而PC =PE . 在 BPE 中，PB PE BE , 而 BE =BA AE =AB AC , 故 PB PC AB AC . 【例2】 如图所示，在ABC中，AD是/BAC的平分线，M是BC的中点, 1 CE CD，求证■ ACB =2 B . 2 【考点】轴对称类全等问题；中点及中心对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略 【答案】如图所示，延长 CE到P，使EP =CE，连接DP、BP . E 4 P 因为 CD =2CE，故 CD =CP，则.CDP CPD . 因为.ACB =? CDP ： ._CPD，故.ACB =2 CPD . 因为 BM 二MC , CE 二 EP，故 ME II BP . 因为 AD _ME，故 AD _BP . 因为AD平分三BAP，故 AB=AP . 在 ABD 和 APD 中，AB=AP , . BAD =/PAD, AD =AD , 故 ABD 也 APD，从而.ABD 二/APD，因此.ACB =2. ABC . 点评：实质上，本题还是利用了 见到角平分线，考虑对称图形 ”的思想. 【例3】 如图，在△ ABC中，BE是角平分线， AD_BE，垂足为D .求证：2 4 ?乙C . 【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略 【答案】如图，延长 AD交BC于F于. 因为.ABD - . FBD , BD 二 BD , ADB =. FDB = 90 , 所以 Rt △ ABD 幻 Rt △ FBD . 于是 2= DFB . 因为ZDFB 厶? . C , 所以.2 ? . C . 【例4】 已知等腰直角 ABC中，./BAC =90 , BD是角平分线，CE _ BD，交BD延长线于点E .求证: BD =2CE . 【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 【答案】延长 CE、BA交于点F .因为.BAC =90 , CE _ BE，所以.F ACF =90 , .F . ABD =90，所以.ABD = . ACF .因为等腰直角.：ABC 中，AB 二 AC，且 ZBAD ZCAF =90，所以.：ABD 也.：ACF，所以 BD =CF . 因为BD是角平分线， 且ZBEC /BEF =90 , BE是公共边，所以.：BCE ^：BFE .所以CE=FE , 即 BD =2CE . F 【例5】 如图，在直角「ABC中，.BAC =90 , AB二AC , BD平分? ABC交AC于D，作CE _BD 交BD的 延长线于E，则BD与CE的大小关系是 . 【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】天津市数学竞赛题 【解析】延长BA、CE相交于点F . F 由图可知， BFE 幻? BCE，故 CE 臣 ,CF =2CE .又.BAC =90 , CE _ BD，故.AD - AE 又 AB 二 AC，故? ABD 幻? ACF，从而可知 BD 二CF =2CE . 【答案】BD =2CE A A 【例 【例6】 在 ABC中，AD平分.A, CD_AD , D为垂足，G为BC的中点，求证：.DGC二/B . 【考点】轴