(精选)证明：质量均匀分布的球壳对球内任一点的引力为零.docxVIP

质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零 “球皮”的引力大小相等。为此 设p点所放质点的质量为 m两“球皮” 的面积分别为 AS i和AS 2，球壳的质量面密度为b, 两“球皮”到P点的距离分别为ri和「2,由万有引力定律 可得P点所放质点m受到的两个引力大小分别为 R G mg g Sl和F2 G吨g S 过P点沿两圆锥轴线作 虚线（蓝色）分别交两“球皮”于 Ai 和A/两点，这条直线 与两半径的夹角均为 0 （为什么），如图所示。现将 ASi投影到与直线 Ai A/垂直的平 面上，即投影到图中过 Ai点且与直线Ai A2垂直的平面上。因立体角一一圆锥顶角很小， 所以投影平面面积与球冠面积相等。 所以投影得到一球冠， 面积为ASlcos 0（为什么？ 自己想想！）。同样的，将AS2投影到过A点的平面上，得到另一球冠，它的面积为 AS2?cos 0。 根据球冠的面积公式 S 2 Rh 2 R R Rcos 2 R2 i cos 可得与球冠 一 2 1R2 2 1球冠的高度h均无关，仅与圆锥的顶角的一半对应（的圆锥的）立体角为cos 。显然，这一立体角与球的半径有关。对比平面弧度角与圆的半径无关,可以更好地加以理解。万事具备，只欠FiGmgg Sgcoscos ? 一 2 1 R2 2 1 球冠的高度h均无关，仅与圆锥的顶角的一半 对应（的圆锥的）立体角为 cos 。显然，这一立体角与球的半径 有关。对比平面弧度角与圆的半径无关, 可以更好地加以理解。 万事具备，只欠 Fi Gmg g Sgcos cos ? r12 G mg g cos F2 mg g S2gcos G 2 cos ? r2 Gmg g cos 因为两个圆锥的顶角相等, 从而两个立体角Q相等，从而 Fi与F2大小相等。这样，我们就 证明了两块“球皮” AS 1和AS2对放在P点质点m的引力的合力为零; 而整个球壳可分解成这样一对对的“球皮” ，每一对“球皮”对放在任意点 P的质点 的引力的合力均为零；所以， 质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力 为零！ 附录：“球冠面积”与“立体角Q” ，将下图立体想象起来。 S 2 Rh 2 R R Rcos 2 R2 1 cos S c d 2 2 1 cos R2 式中，R为球的半径，h为球冠的高度，a为与球冠对应的圆锥的半顶角