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课题
最短路径问题
教材版本
人教版八上
教学目标
1、会利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”或者“垂线段最短”的问题
2、探求图形运动变化中的规律
教学重点
利用轴对称解决最短路径问题
教学难点
如何利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”或者“垂线段最短”的问题
教学方式
启发式
教学手段
多媒体辅助教学
教学过程
问题与情境
师生行为
设计意图
一、回顾旧知,启发新知
复习1:
在l上求作一点M,使得AM 的长最小.
复习2:
在l上求作一点M,使得AM+BM的长最小.
二、新知转化、形成方法
例1 在直线l上求作一点P,使得PM+PN的长最小.
练习1. 点M、N在锐角∠AOB的内部,在OA边上求作一点P,在OB边上求作一点Q,使得MP+PQ+QN的长最小;
例2. 已知:点M是锐角ΔAOB的AB边上任意一点
(1)请在OA边上求作一点P,在OB边上求作一点Q,使得ΔPMQ的周长最小;如果OM = 2,∠AOB=30°,求此时ΔPMQ的周长
(2)当点M在AB边上运动时,ΔPMQ的周长会发生变化吗?如果会发生变化,请研究ΔPMQ的周长何时会取到最小值.
练习2. 已知:点M在锐角∠AOB的内部,在OA边上求作一点P,在OB边上求作一点Q,使得MP+PQ的长最小.若OM = 2, OM平分∠AOB, 并且∠AOB=20°,求这个最小值
三、课堂总结,强化思想方法
四、知识梳理、分层作业
作业:
1.学探诊测试9
2.选作作业:查阅有关Fagnano垂足三角形的文献资料
教师用课件演示,引导学生从运动变化的角度观察图形
复习1
复习2
引导学生从一般的P点入手,在运动变化中体会与复习2的区别及联系。
怎样才能把PM转化到线段的另一侧呢?启发学生思考,利用轴对称可以达到这样的效果。
PM+PN就转化为PM+PN的情形,也就是复习2所解决的问题。要明确M、N为定点,P为动点
与学生一起总结解决例1所用到的思想方法。利用轴对称,改变线段的位置,从而把问题转化为两点之间线段最短的情形。具体的方法是首先在直线上任取一个点,然后通过轴对称把线段转移到直线的两侧,利用两点之间线段最短解决问题。
引导学生从一般的P、Q点出发,帮助学生理解题意,迅速找到解题思路。
O
O
A
M
N
B
P
Q
这时关注学生是否能够选择合适的轴对称变换。
所求的MP+PQ+QN的最小值便转化为MP+PQ+QN的最小值,M、N为定点,P、Q为动点,那么问题就转化为两点之间线段最短的情形了。
如果学生理解了练习1,例2(1)中的作图便会更简单了。
在(1)中的计算部分,学生可能会感到困难。这时候引导学生去发散已知,考虑轴对称的性质:
引导学生进一步发现ΔMOM是等边三角形.
学生可能不太容易理解(2)的题意,教师首先利用多媒体演示,当M点确定时,P、Q两个点也是唯一确定的,随着M点的变化,ΔPMQ的周长也随之发生变化。所以问题也就转化为M点在何位置时,MM的长最短.
从两个角度去引导学生,一方面从(1)中的计算中发现∠MOM=2 ∠AOB,也就是说∠MOM是确定的,那么MM便是一个顶角确定的等腰三角形的底边;另一方面,可以利用多媒体动态演示,让学生大胆猜想,然后再去论证.
对于一个顶角确定的等腰三角形而言,腰长越短,底边越小.虽然学生没有学过这个结论,但可以依靠几何直观.
OM何时最小,学生不难转化为垂线段最短的情形.
如果有学生觉得困难,仍然引导学生从一般的P、Q点分析.通过轴对称,MP+PQ转化为MP+PQ,M为定点,P、Q为动点,此时学生应该可以转化为垂线段最短的情形.
学生作出P、Q,使MP+PQ最小
师生就以下几个问题进行小结:
1、解决最短路径问题的思想方法?
通过轴对称变换,转移线段的位置,使问题转化为两个几何基本模型,即两点之间线段最短或垂线段最短。
2、进行轴对称变换需要注意什么?
可以从一般点入手,既要弄清楚选哪条直线为对称轴,也要区分哪些点是动点,哪些点是定点
从学生已经解决的问题出发,渗透运动变化的思想.对于复习2,要关注MA+MB≥AB(当且仅当M,A,B三点共线时,取“=”)为后续问题做铺垫
从问题产生的角度看,复习2到例1是一个自然的过渡,而例1的解决对于利用轴对称解决最短路径问题十分重要,所以例1的思想方法务必让学生深刻领会。对于直线l上任意一点P,要让学生理解为什么要作轴对称变换,并且提出解决这类问题的基本方法。
如果有学生提出作N关于l的对称点,需要引导学生证明其统一性。
练习1是例1的复习巩固,目的就是检验学生是否会利用轴对称实现线段的转移,从而转化为两点之间线段最短的情形。
当练习1中的M、N两点重合时,便是例2中第一问的作图。所以学生在例1和练习1的基础上,要能够看出例2是从一般到特
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