《数学物理方法》第5章 解析延拓多值函数及其黎曼面.ppt

第5章 解析延拓  多值函数及其黎曼面 解析延拓是研究怎样扩大解析函数定义域的问题。 引入黎曼面，把多值函数看作黎曼面上的单值解析函数，从而把单值解析函数的理论移植过来。 第1章曾把定义在实轴上的实函数(如指数函数、三角函数等）通过将x改为z的替换，扩大成为复平面上的解析函数．本章讨论将一般的解析函数进行解析延拓的方法，并在此基础上介绍G函数的有关性质。 多值函数及其黎曼面是讨论如何引入黎曼面，把多值函数看作黎曼面上的单值解析函数，从而把单值解析函数的理论移植过来。它的定义域也由一个z平面扩大为多叶的黎曼面．在此基础上，本章还介绍利用多值函数积分计算实变积分的方法． §5.1 解析延拓 G函数 本节介绍解析延拓的概念； 分别利用泰勒级数和函数关系进行解析延拓； 结合G函数的解析延拓，讨论G函数的一些常用性质。 §5.1.1 解析延拓的概念 若函数f1(z)和f2(z)分别在D1和D2内解析，并且在D1与D2的重叠区域D12中有 f1(z) ＝ f2(z) (5.1.1) 则称f2(z)为f1(z)在D2 中的解析延拓，称f1(z) 为f2(z)在D1 中的解析延拓(图5. 1). 在D1与D2的重叠区域D12(D12≡D1),有f1(z) ＝ f2(z)这样， 在D2中的解析延拓，从而将f1(z)的定义域扩大了。 同样，也称f1(z)是f2(z)在D1中的解析延拓；只不过在本例中， D2已涵盖了D1而已。这两个解析元素分别记为 §5.1.2 用泰勒级数进行解析延拓 1. 解析延拓的方法 现在用泰勒级数将{D1, f1(z)}解析延拓，显然，不是所有函数都能像上例一样通过求和得到函数的有限表达式，而是要一步一步延拓出去的。 为便于比较，仍采用刚才的例子 逐步进行解析延拓 首先，在D1,内任取一点b1 = i/2，将f1(z)在b1点的邻域展开为泰勒级数 f2(z)和f1(z)分别是函数 的泰勒展开式。因此，在两者重叠的区域中必有f1(z) ＝ f2(z) 这样，f2(z)就是f1(z)在D2的解析延拓。 在D2内任取一点b2，将f2(z)在b2点的邻域展开为泰勒级数 设级数收敛的区域为D3 ，在D2与D3重叠的区域f2(z) ＝ f3(z) ，这样f3(z)就是f2(z)在D3的解析延拓． ??这样不断作下去，就得到一系列的解析元素{Dn, fn(z)}，其中n=2, 3，? 一个解析元素{D1, f1(z)}的全部解析延拓的集合，称为f1(z)所产生的完全解析函数F(z)。 F(z)的定义域是全部解析元素给出的定义域的总和，即 对于,这个例子，可以把f1(z)解析延拓到除z=1以外的全平面．因为级数在z=1是发散的，在每一次解析延拓过程中，Dn都不能包含z=1. 奇点z=1成为每一个Dn(n=2,3,?)的边界点．并且从展开中心bn到z=1的距离就是fn(z)的收敛半径，见图5.2. 2. 并非所有函数都能解析延拓 例如函数 的定义域为|z|1，其收敛半径R=1。 f1(z)在收敛圆周上密布着无限多奇点．实际上，在 圆周|z|=1上，满足的 点，也就是 (5.1.10)右边第一项为有限值，第二项为 这说明所有zn,k均为f1(z)的奇点． 其次，由式(5.1.9)可见，对于一个k值,n可以取0,1,?,2k-1的值(如取k=3，则n= 0,1,?,7)．因为k可取无限多个值，故奇点zn,k有无限多个，并且它们按照式(5.1.9)的规律稠密地分布在圆周|z|=1上，使得从任何方向都不能延拓出去． §5.1.3 用函数关系进行解析延拓G函数 利用G函数的递推公式, 对G函数进行解析延拓 l. G函数的定义与递推公式 实变函数中G函数的定义是 x＞0 (5. 1. 12) 复变函数中G函数的定义是它的简单推广 Rez= x＞0 (5.1. 13) G函数的递推公式为 G(z+1）＝zG(z） (5.1.14) G函数的递推公式为 G(z+1）＝zG(z） (5.1.14) 证明 现在通过分部积分来证明 可用洛必达法则证明，而 tze-t|t=0 = 0 是显然的 2. 用G函数的递推公式进行解析延拓 的定义域为Rez 0，称为D1 。这样， {D1, f1(z)}亦即{Rez0, G(z)} 构成了一个解析元素． 现在由它出发，通过解析延拓，得到第二