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高等数学试题及答案 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。 1 ． 设 f(x)=lnx ， 且函数 (x) 的反 函数 1(x)= 2(x+1) ，则 x-1 f (x) （ ） ln x-2 ln x+2 ln 2-x ln x+2 x+2 x-2 x+2 2-x 0 et e t 2 dt 2． lim x 1 cos x （ ） x 0 A ． 0 B． 1 C． -1 D ． 3 ．设 y f ( x0 x) f ( x0 ) 且函数 f ( x) 在 x x0 处可导，则必有 （ ） A. lim y 0 B. y 0 C.dy 0 D. y dy x 0 4．设函数 f(x)= 2x2 , x 1 ，则 f(x) 在点 x=1 处（ ） 3x 1,x 1 A. 不连续 B. 连续但左、右导数不存在 C. 连续但  不可导D. 可导 5．设 xf(x)dx=e -x 2 C ，则 f(x)= （ ） A.xe -x 2 B.-xe -x 2 C.2e -x 2 D.-2e -x 2 二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1 1 6.设函数 f(x) 在区间 [0， 1]上有定义，则函数 f(x+ )+f(x- )的定义域是 4 4 __________. 7． lim a aq aq2 aqn q 1 _________ n 8． lim arctan x _________ x 已知某产品产量为 g 时，总成本是 C(g)=9+ g2 ，则生产 100 800 件产品时的边际成本 MCg 100 __ 10. 函数 f ( x) x3 2x 在区间 [0 ，1] 上满足拉格朗日中值定理的 点 ξ是_________. 11. 函数 y 2x3 9 x2 12x 9 的单调减少区间是 ___________. 12.微分方程 xy y 1 x3 的通解是 ___________. 2ln 2 dt 13.设 ,则 a ___________. et 1 6 14.设 z cos2 x _______. 则 dz= y 15 设 D (x, y) 0 x 1,0 y 1 ，则 xe 2y dxdy _____________. D 三、计算题（一） （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 1 x ，求 dy. 16.设 y x 17.求极限 lim ln cot x ln x x 0 18.求不定积分 1 5x 1 dx. ln 5x 1 a a2 x2 dx. 19.计算定积分 I=  20.设方程 x 2 y 2xz ez 1确定隐函数 z=z(x,y) ，求 z x , zy 。 四、计算题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 21．要做一个容积为 v 的圆柱形容器， 问此圆柱形的底面半径 r 和高 h 分 别为多少时，所用材料最省？ 22. 计算定积分 xsin2 xdx 0 23. 将二次积分 I dx sin y 2 y dy 化为先对 x 积分的二次积分并计算其 0x 值。 五、应用题（本题 9 分） 24.已知曲线 y x2 ，求 （1）曲线上当 x=1 时的切线方程； （2）求曲线 y x2 与此切线及 x 轴所围成的平面图形的面积，以及 其绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 Vx . 0 六、证明题（本题 5 分） 25．证明：当 x0 时， x ln( x1 x2 ) 1 x2 1 参考答案 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1．答案： B 2． 答案： A 3．答案： A 4．答案： C 5．答案： D 二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分） 6．答案： 1 , 3 4 4 7．答案： a 1 q 8．答案： 0 9．答案： 1 4  1 10．答案： 3 11．答案：（ 1， 2） x3 12．答案： 1 Cx 2 13．答案： a ln 2 14．答案： 1 sin 2xdx cos2 x dy y y 15．答案： 1 1 e 2 4 三、计算题（一） （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） x 1 16. 答案： ln x 1 dx x 17． 答案： -1 2 18．答案： ln 5x 1 C 5 19. 答案