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高等数学试题及答案
一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,
请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。
1 . 设 f(x)=lnx
, 且函数 (x) 的反 函数
1(x)=
2(x+1) ,则
x-1
f (x)
(
)
ln
x-2
ln x+2
ln 2-x
ln x+2
x+2
x-2
x+2
2-x
0
et
e t
2
dt
2. lim
x
1
cos x
(
)
x
0
A . 0
B. 1
C. -1
D .
3 .设
y
f ( x0
x)
f ( x0 ) 且函数 f ( x) 在 x
x0 处可导,则必有
(
)
A. lim
y
0
B. y
0
C.dy 0
D. y
dy
x
0
4.设函数 f(x)=
2x2 , x 1 ,则 f(x)
在点 x=1 处(
)
3x
1,x
1
A. 不连续
B.
连续但左、右导数不存在
C.
连续但
不可导D.
可导
5.设 xf(x)dx=e -x 2
C ,则 f(x)=
(
)
A.xe -x 2
B.-xe -x 2
C.2e -x 2
D.-2e -x 2
二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1
1
6.设函数 f(x) 在区间 [0, 1]上有定义,则函数 f(x+ )+f(x-
)的定义域是
4
4
__________.
7. lim a aq
aq2
aqn
q 1 _________
n
8. lim arctan x
_________
x
已知某产品产量为 g 时,总成本是 C(g)=9+ g2 ,则生产 100
800
件产品时的边际成本 MCg 100 __
10. 函数 f ( x) x3 2x 在区间 [0 ,1] 上满足拉格朗日中值定理的
点 ξ是_________.
11. 函数 y
2x3 9 x2 12x 9 的单调减少区间是 ___________.
12.微分方程
xy y 1 x3 的通解是 ___________.
2ln 2
dt
13.设
,则 a ___________.
et 1 6
14.设 z
cos2 x
_______.
则 dz=
y
15
设 D
(x, y) 0 x 1,0
y 1 ,则 xe 2y dxdy _____________.
D
三、计算题(一) (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
1
x
,求 dy.
16.设 y
x
17.求极限 lim
ln cot x
ln x
x 0
18.求不定积分
1
5x
1
dx.
ln 5x 1
a
a2
x2 dx.
19.计算定积分 I=
20.设方程 x 2 y 2xz ez 1确定隐函数 z=z(x,y) ,求 z x , zy 。
四、计算题(二) (本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)
21.要做一个容积为 v 的圆柱形容器, 问此圆柱形的底面半径 r 和高 h 分
别为多少时,所用材料最省?
22.
计算定积分
xsin2 xdx
0
23.
将二次积分 I
dx
sin y
2
y
dy 化为先对 x 积分的二次积分并计算其
0x
值。
五、应用题(本题 9 分)
24.已知曲线 y x2 ,求
(1)曲线上当 x=1 时的切线方程;
(2)求曲线 y x2 与此切线及 x 轴所围成的平面图形的面积,以及
其绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 Vx .
0
六、证明题(本题 5 分)
25.证明:当 x0 时, x ln( x1 x2 ) 1 x2
1
参考答案
一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分)
1.答案: B
2. 答案: A
3.答案: A
4.答案: C
5.答案: D
二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)
6.答案:
1 , 3
4
4
7.答案:
a
1
q
8.答案: 0
9.答案: 1
4
1
10.答案:
3
11.答案:( 1, 2)
x3
12.答案: 1 Cx
2
13.答案: a ln 2
14.答案:
1
sin 2xdx
cos2 x dy
y
y
15.答案:
1
1
e 2
4
三、计算题(一) (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
x
1
16. 答案: ln x 1 dx
x
17. 答案: -1
2
18.答案: ln 5x 1 C
5
19. 答案
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