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第?2?课时 利用二次函数解决几何图形面积最值问题
知|识|目|标
经历利用二次函数的有关性质解决实际问题的过程,会利用二次函数解决几何面积的最值
问题.
目标 会利用二次函数解决面积最值问题
例?1?教材补充例题将一根长为?100?cm?的铁丝围成一个矩形框,要想使铁丝框的面积最大,
应怎样围?
【归纳总结】?应用二次函数解决面积最大(小)值问题的步骤
(1)分析题中的变量与常量.
(2)根据几何图形的面积公式建立函数模型.
(3)结合函数图像及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,求出面积的最大(小)值.
例?2?教材“复习巩固”第?15?题针对训练如图?5-5-2,在矩形?ABCD?中,AB=6?cm,BC=
12?cm,点?P?从点?A?出发沿?AB?边向点?B?以?1?cm/s?的速度运动,同时,点?Q?从点?B?出发沿?BC?边
向点?C?以?2?cm/s?的速度运动,P,Q?两点在分别到达?B,C?两点后就停止运动,设经过?t?s?时,
△PBQ?的面积为?S?cm2.
(1)求?S?与?t?之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围);
(2)当?t?取何值时,S?的值最大?最大值是多少?
图?5-5-2
【归纳总结】?几何问题中应用二次函数时的三个注意点
(1)点在线段上的取值范围.
(2)顶点的横坐标、纵坐标必须符合实际意义.
(3)自变量和函数值的单位.
1
知识点 建立函数模型,解决图形中的最值问题
利用二次函数解决几何图形面积最值问题的一般步骤:
(1)列:分析几何图形的特点,设出自变量?x,根据题中两个变量之间的关系列出二次函数
表达式;
(2)求:利用公式法或配方法求出其最大(小)值;
(3)写:结合相关问题写出结果.
如图?5-5-3,利用一面墙,其他三边用?80?m?长的篱笆围一块矩形场地,墙长为?30?m,
求围成矩形场地的最大面积.
由题意,得?S=x·??(80
由题意,得?S=x·??(80-x)=-??(x-40)2+800,
解:设矩形场地的面积为?S?m2,所围矩形?ABCD?的边?BC?为?x?m.
1 1
2 2
∴当?x=40?时,S?最大=800,符合题意,
∴当所围矩形?ABCD?的边?BC?为?40?m?时,矩形场地的面积最大,最大面积为?800?m2.
你认为上述解答有问题吗?若有问题,请说明理由,并给出正确的解答过程.
2
详解详析
【目标突破】
例?1 解:设矩形框的一边长为?x?cm,则与其相邻的另一边长为(50-x)cm,矩形的面积
是?y?cm2,那么?y=(50-x)x=-x2+50x=-(x-25)2+625.
∵a=-1<0,∴当?x=25?时,y?有最大值,
则?50-x=50-25=25,
即要使铁丝框的面积最大,应将其围成边长为?25?cm?的正方形.
[备选例题]?某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩
形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长?69?米的不锈钢栅栏围成,与墙平行
的一边留一个宽为?3?米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两名学
生争议的情境:
2请根据上面的信息,解决问题:
2
(1)设?AB=x?米(x>0),试用含?x?的代数式表示?BC?的长;
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
解:(1)由?AB=x?米,可得?BC=69+3-2x=(72-2x)米.
(2)小英的说法正确.理由:
矩形面积?S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648.
∵72-2x>0,∴x<36,∴0<x<36,
∴当?x=18?时,S?取得最大值,
此时?x≠72-2x,
∴面积最大时的图形不是正方形.
例?2 解:(1)经过?t?s?时,AP=t?cm,故?PB=(6-t)cm,BQ=2t?cm,
1
故?S=?·(6-t)·2t=-t2+6t.
(2)∵S=-t2+6t=-(t-3)2+9,
∴当?t=3?时,S?的值最大,最大值为?9.
【总结反思】
[反思]?上述解答有问题,解答有关二次函数的实际问题时未考虑自变量的取值范围,墙
长?30?m<40?m,故?x=40?时矩形?ABCD?的面积最大是不正确的.
正解:设矩形场地的面积为?S?m2,所围矩形?ABCD?的边?BC?长为?x?m.由题意,得
3
S=x·??(80-x)
S=x·??(80-x)=-??(x-40)2+800.
2 2
因为墙长为?30?m,所以?0x≤30.
又因为当?x<40?时,S?随?x?的增大而增大,
所以当?x=30?时,S?取得符合实际意义的最大值,此时?S=750.故围成矩形场地的最大面
积为?750?m2.
4
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