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2x+1;x22x=1±????6(5)????1滚动小专题(二) 方程、不等式的解法
2
x+1;
x
2
2
x=1±????6
(5)????1
类型?1 方程(组)的解法
1.解方程(组):
(1)4x-3=2(x-1);
解:去括号,得?4x-3=2x-2.
移项,得?4x-2x=-2+3.
合并同类项,得?2x=1.
1
系数化为?1,得?x=?.
2 3
(2)?=
解:方程两边同乘?x(x+1),得?2(x+1)=3x.
去括号,得?2x+2=3x.
移项?,得?2x-3x=-2.
合并同类项,得-x=-2.
系数化为?1,得?x=2.
检验?,当?x=2?时,x(x+1)≠0.
∴x=2?是原分式方程的根.
??2x+y=4,①
(3)?
??x-y=-1;②
解:①+②,得?2x+y+x-y=4-1.解得?x=1.
把?x=1?代入①,得?2+y=4.解得?y=2.
??x=1,
∴原方程组的解是?
??y=2.
(4)2x2-4x-1=0;
1
解:x2-2x-?=0.
3
(x-1)2=?.
2?.
6 6
∴x1=1+?2?,x2=1-?2?.
1-x
x-2+2=2-x.
解:方程两?边同乘?x-2,得?1+2(x-2)=x-1.
解得?x=2.
检验:当?x=2?时,x-2=0.
所以?x=?2?不是原方程的解.
∴原方程无解.
1
23.解不等式:2x-1>3x-1类型?2 不等式(组)
2
3.解不等式:2x-1>3x-1
2.解不等式(组):
(1)4x+5≤2(x+1);
解:去括号,得?4x+5≤2x+2.
移项、合并同类项,得?2x≤-3.
3
解得?x≤-?.
??3x-1≥x+1,①
(2)?
??x+44x-2;②
解:解不等式①,得?x≥1.
解不等式②,得?x>2.
∴不等式组的解集为?x>2.
??2x-73(x-1),①
?
(3)?4 2
??3x+3≤1-3x.②
?
解:解不等式①,得?x>-4.
解不等?式②,得?x≤-1.
∴不等式组的解集是-4<x≤-1.
2 ,并把它的解集在数轴上表示出来.
解:去分母,得?4x-2>3x-1.
解得?x>1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下:
??5x-13(x+
??5x-13(x+1),并把它的解集在数轴上表示出来.
4.解不等式组:?
解:解不等式?2x≥-9-x,得?x≥-3.
解不等式?5x-1>3(x+1),得?x>2.
则不等式组的解集为?x>2.
将解集表示在数轴上如下:
2
222221 3
2
2
2
2
2
5.x?取哪些整数值时,不等式?5x+2>3(x-1)与?x≤?2-?x?都成立?
??5x+23(x-1),①
?
解:联立不等式组?1 3
??2?x≤2-2x,②
?
5
解不等式①,得?x-?.
解不等式②,得?x≤1.
5
∴-?x≤1.
故满足条件的整数有-2,-1,0,1.
类型?3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
6.已知关于?x?的方程?x2+mx+m-2=0.
(1)若此方程的一个根为?1,求?m?的值;
(2)求证:不论?m?取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
解:(1)把?x=1?代入方程?x2+mx+m-2=0,得
1
1+m+m-2=0.解得?m=?.
(2)证明:∵Δ?=m2-4(m-2)=(m-2)2+4≥40.
∴不论?m?取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
47.已知关于?x?的一元二次方程?x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.
4
(1)求?k?的取值范围;
1(2)设方程①的两个实数根分别为?x1,x2,当?k=1?时,求?x2+x2的值.
1
解:(1)∵x2+(2k?+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根,
∴Δ?=(2k+1)2-4k20.
1
∴k-?.
(2)当?k=1?时,原方程为?x2+3x+1=0.
∵x1,x2?是该方程的两个实数根,
1∴由根与系数的关系可知?x1+x2=-3,x1x2=1.
1
∴x2+x2=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×1=7.
8.已知关于?x?的方程(x-3)(x-2)-p2=0.
(1)求证:无论?p?取何值时,方程总有两个不相等?的实数根;
1(2)设方程两实数根分别为?x1,x2,且满足?x2+x2=3x1x2,求实数?p?的值.
1
解:(1)证明:∵(x-3)(x-2)-p2=0,
∴x2-5x+6-p2=0.
∴Δ?=(-5)2-4×1×(6-p2)=25-24+4p2=1+4p2.
∵无论?p?取何值时,总有?4p2≥0,
∴1+4p2>0.
∴无论?p?取何值时,方程总有两个不相等的实数根.
1(2)由(1),得?x1+x2=5,x1x2=
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