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第5章 几何证明初步 5.6几何证明举例 第4课时 一、预习诊断 下列说法中,错误的是( )。 A.三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形内部 B.三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等 C.三角形任意两个角的平分线的交点都在第三个角的平分线上 D.三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等 教学目标 1.掌握并证明角平分线的性质定理及其逆定理; 2.会运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关实际问题。 回顾与思考 1.什么叫角的平分线? 2.根据本册第二章的学习你知道角的垂直平分线有什么性质? 3.这个性质你是怎样得到的?这个性质是真命题吗?你能用逻辑推理的方法,证明它的真实性吗? 二、精讲点拨 证明:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 P M N C B A D 已知:如图,BD是∠ABC的平分线,点P在BD上,PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别是点M和N. 求证:PM=PN 温馨提示:证明的推理过程可以用文字语言,也 可以用符号语言。 符号语言 角平分线的性质定理: ∵点P在的平分线BD上 PM⊥BA,PN⊥BC ∴PM=PN P M N C B A D 交流与发现 你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗?它是真命题吗?应如何证明它的真实性? 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. P N M B A C 已知:如图,点P是∠ABC内的一点,PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别是M与N,且PM=PN 求证:点P在∠ABC的平分线上 符号语言 角平分线的判定定理: ∵ PM⊥BA,PN⊥BC,PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 (或BP是∠ABC的平分线) P N M B A C 典型例题 我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点,如何证明这个结论? 例:已知:如图,AM,BN,CP是△ABC的三 条角平分线。 求证:AM,BN,CP交于一点。 要证明三角形的三条角平分线交 与一点,只要证明两条角平分线 的交点也在第三条角评分线上就 可以了。 小试身手 如图24-79,△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,MD⊥AB,ME⊥AC,D、E是垂足。 求证:MD=ME。
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