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近世代数复习 一、单选、填空知识点 1、任何有限群 的子群 的阶数是 阶数的因子。 G H G 2、任何素数阶数的群是循环群，而循环群是交换群。 3、群的定义是什么？给出一些集合和集合上的运算，能判断集合关于运算是不是群。 【定义】一个不空集合 对于一个叫作乘法的代数运算来说作为一个群，假如： G （1）G 对于乘法来说是封闭的； （2 ）结合律成立：a(bc) (ab)c ； （3 ）G 里存在一个左单位元 ，能让 ，对于任意元 成立； e ea a a （4 ）对于 −1 −1 的每一个元 ，在 里至少存在一个左逆元 ，能让a a e 。 G a G a 〖例子〗 是全体整数的集合， 对于普通加法来说作成一个群。 G G 是所有不等于零的整数的集合， 对于普通乘法来说不作成一个群。（不满足4 ） G G 是全体不等于零的有理数的集合，那么 对于普通乘法来说作成一个群。 G G 是全体整数的集合， 对于普通减法来说不作成一个群。（不满足2 ） G G 4 、什么是一个群 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群。 G 【定义】若一个群 的每一个元都是 的某一个固定元 的乘法，我们就把 叫做循环群；我们也说， G G a G 是由 所生成的，并且用符号G (a) 表示。 叫做 的一个生成元。 G a a G 【定义】一个群 的一个子集 叫做 的一个子群，假如对于 的乘法来说做成一个群。一个群 的一 G H G G G 个不空子集 做成 的一个子集的充分必要条件是： H G （1）a,b ∈H ⇒ab ∈H ； −1 （2 ）a ∈H ⇒a ∈H ； −1 （3 ）a,b ∈H ⇒ab ∈H 。 〖补充〗 设G a 是循环群。 （1）若 −1 是无限循环群，则 只有两个生成元，即 和 。 G G a a r （2 ）若 是 阶循环群，则 含有 个生成元。对于任何小于等于 且于 互质的正整数 ， 是 G n G ϕ(n) n n r a G 的生成元。 ϕ(n) 是欧拉函数。对于任何正整数 ，ϕ(n) 是小于等于 且与 互质的正整数个数。 n n n 〖例子〗 （1）G {e, a, , a11} （2 ） 9 是模 的整数加群。 G z ,=⊕ 9 （3 ）G 3Z 3z | z ∈Z ， 上的运算是普通加法。 { } G 解： （1） 是 阶循环群，欧拉函数ϕ(12) 4 ，小于或等于 且与 互素的正整数为1,5,7,11 ，故由定理， G 12