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近世代数论文 PAGE 4 近世代数论文 师范学院14级数学与应用数学2班 景羡林 学号：12147139213 上半学期学习总结 基本概念 集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为ρA或2A。（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个 积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|a∈A，b∈B}叫A与B的积。（A×B≠B×A） A到B的对应法则?为A到B的映射①?x∈A，x有象 ②?x∈A，x的象唯一 ③?x∈A 若A是含n个元素的集合，则A的映射共有nn个，一一映射共有n！个 代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。（o为A×B到D的代数运算?（a，b）∈A×B，aob有意义，且aob唯一，属于D）。 满射：?y∈A，设y=?（x），求出x（x为y的函数），若x存在且x∈A，则?为满射。（A中的每一个元素都有原象）；单射：?a，b∈A，若a≠b，则?（a）≠?（ 一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。 一个A 到A的映射?，叫做一个对于代数运算o和o来说的，A 到A的同态映射，假如满足：?a,b∈A，a→a，b→b则aob→aob（运算的象=象的运算）；A与A同态A 与A存在同态满射 一个A 到A的一一映射?，叫做一个对于代数运算o和o来说的，A 到A的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射）。 若R为法则，若R满足?a，b∈A，要么aRb，要么aRb，唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A 的元间的一个关系~叫做一个等价关系，假如满足①反射律（?a∈A，有a~a）②对称律③推移律 A 的一个分类即为A 的一些子集A1、A2、…An满足：①A1∪A2 模n的同余关系（a≡b（n）读作a同余b模n）：若n∣（a-b）则a≡b（a与b同除n后余数相同）。若a=b则a≡b（n）即n|a-b。 群论 群的定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如：①乘法封闭。②结合律成立。③存在单位元。④逆元存在。 群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得am=e成立的最小正整数m，记为a，若这样的m不存在，则说a是无限阶的 元素的阶的性质：①设a的阶为m，若an=e则m∣n；②任何元素与它的逆元同阶；③设G为一个群，a∈G，若a的阶为2，则a=a 交换群：?a，b∈G，ab=ba 若一个有乘法的有限集满足①乘法封闭；②结合律成立；③消去律成立（若ax=ax＇，那么x=x＇；若ya=y＇a则y 群同态：假定G与G对于它们的乘法来说同态，若G是群，那么G也是一个群（具有相同的特性）。但是反之却不成立。 设（G，·）和（G，·）是两个群，如果存在G和G的同态满射，则称G和G同态，记为G～ G；如果存在G和G的同构映射，则称G和G同构，记为G≌ A的一个变换就是一个A到A自己的映射。 一个集合A的所有一一变换作成一个变换群G。（变换群是非交换群）；变换群不唯一，变换做成群只有一一映射， 任何一个群都同一个变换群同构。 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群。（置换群的表示不唯一，置换群是非交换群） 一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群；n次对称群Sn的阶是n 每一个有限群都与一个置换群同构。 循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。（循环群的生成元不唯一，不同的元可以生成同一个群） 假定G是一个由元a生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定：①a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；②a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。 一个循环群一定是一个交换群。 设H为群G的非子集，如果H按G中的运算作成一个群，则称H为G 的一个子群，记为H≤G。 子群的判法：⑴定义法；⑵一个群G的一个非空子集H作成G的一个子群的充要条件是①乘法封闭；②逆元成立（a∈Ha-1∈H）；⑶充要条件是：a、b∈Hab-1∈H；⑷充要条件是：a、b∈ 群G中由等价关系a～bab-1∈H决定G 的一个分类，其中的每一个类， 群G中由等价关系a～′bb-1a∈H决定G 的一个分类，其中的每一个类，叫做子群 一个子群H的右陪集个数和左陪集个数相等。（一般的，?a∈G，Ha≠aH，a为单位元时才相等） 一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G里的指数，记为G:H。（陪集个数=H中元素个数） 子群的阶能整除大群的阶；一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。 一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说，都有Na=aN（指Na与aN这两个集合一样）。 一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。 不变子群的判法：⑴定义法：?a，有