函数的奇偶性精品）.pptVIP

奇偶性 情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征. 情景导入 情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具有对称特征的美丽图像,比如 等函数图像. f(x)=x2 如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性. 教材导读 阅读教材P33—36，体会函数奇偶性的概念. 观察下图，思考并讨论以下问题： (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？ f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1) f(x)=x2 f(x)=|x| 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数. 定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 观察函数f(x)=x和 的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数. f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 定 义 注 意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性. 3、由定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的（即定义域关于原点对称）． 2、定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性?. 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)定义域为(-∞,+∞) 即 f(-x)=f(x) ∴ f(x)是偶函数. (2)定义域为(-∞,+∞) 即 f(-x) = -f(x) ∴ f(x)是奇函数. (3)定义域为{x|x≠0} (4)定义域为{x|x≠0} 即 f(-x) = -f(x) ∴ f(x)是奇函数. 即 f(-x)=f(x) ∴ f(x)是偶函数. 解： ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) ∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 用定义判断函数奇偶性的步骤： 即 f(-x)＋f(x)=0或f(-x)－f(x)=0是否恒成立. 练习： 判断下列函数的奇偶性： 解： (1)∵ f(x)的定义域是 R ， 且 ∴ f(x) 是偶函数. (2)∵ 函数的定义域是R， 且 f(x)=0， f(-x)=0. ∴ f(-x)=-f(x) ， f(-x)=f(x). ∴函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数. ∴函数的定义域[-1，1) 解： 关于原点不对称， ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)， 当x＞0时，－x＜0， ∴f(－x)= 当x＜0时，－x＞0， ∴f(－x)= 故f(x)为奇函数. =－x(1+x) =－f(x) (x＞0). =－f(x) (x＜0)， (－x)[1－(－x)] =－x(1－x) (－x)[1＋ (－x)] 综上： f(－x)=－f(x) 解： ∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)， 当x＞0时，－x＜0， ∴f(－x)= 当x＜0时，－x＞0， ∴f(－x)= 故f(x)为奇函数. =－x(1+x) =－f(x) (x＞0). =－f(x) (x＜0)， (－x)[1－(－x)] =－x(1－x) (－x)[1＋ (－x)] 综上： f(－x)=－f(x) 法2： ∵f(x)的定义域