住房贷款数学建模.docVIP

住房贷款的数学模型 1 问题的提出 银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。 1．请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有好坏之分； 2．是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论 2 问题的分析 试想一下，银行如果不把本金贷给客户的话，银行就可以从这笔本金中赚到利息. 因此，银行为了保障自己的利益，他不仅要求客户还贷款本金外，还要求客户还本金在贷款期内应该赚到的利息. 现在的银行大多是要求客户每月还相等的金额，即是每月按月均还款额偿还贷款，这样，贷款期过后，客户就会把本金和本金的利息都还清. 可以根据这些，从中推导出月均还款总额的公式. 3 符号的约定 A : 客户向银行贷款的本金 B : 客户平均每期应还的本金 C : 客户应向银行还款的总额 D : 客户的利息负担总和 α: 客户向银行贷款的月利率 β: 客户向银行贷款的年利率 m : 贷款期 n : 客户总的还款期数 根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系： （1） （2） （3） 4 模型的建立与求解 4. 1等额本息还款模型的求解 （1）贷款期在1年以上： 先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的. 客户的合同里规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变. 因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α， 即有关系式： 设 月均还款总额是x （元） （i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额 (i=1…n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额. 根据上面的分析，有 第1期还款前欠银行的金额： 第1期还款后欠银行的金额： …… 第i期还款前欠银行的金额： 第i期还款后欠银行的金额： …… 第n期还款前欠银行的金额： 第n期还款后欠银行的金额： 因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说： ， 即： 解方程得： 这就是月均还款总额的公式. 因此，客户总的还款总额就等于： 利息负担总和等于： 利用上面的公式，计算出的5年期和20年期都跟题目给出的数据吻合. （2） 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为： 而利息负担总和为： 4.2 等额本金还款模型的求解 银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法：等额本金还款法（递减法）：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减. 因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息. （1）1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为： 而利息负担总和为： （2）假设贷款期在1年以上. 设客户第i期应付的金额为 ( i = 1…. n ) (单位：元) 因此，客户第一期应付的金额为 ： 第二期应付的金额为 ： 计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第40期，应该还银行3343. 68元，这才与每月的盈余相当. 而在第109期（若年利率不变），应该还银行2832. 18元，这时才与本息还款法的月均还款总额差不多. 而且对于每月3350元的收入，等额本息还款法还款会更合适. …… 那么，客户第n期应付的金额为 ： 累计应付的还款总额为 ： 利息负担总和为 ： 以向银行贷款20万买房子，20年还款期为例. 比较两种还款方法（如下表）： （以新规定，五年以上年利率为5. 58% 来计算 （单位：元）） 贷款期限（年） 年利率（%） 还款总额 利息负担总和 月均还款总额 20（本息还款） 5. 94 342227. 49 142227.49 1425.95 20（本金还款） 5. 94 318305. 00 118305. 00 1819.21（第1期） 比较 ------ 23922.49 23922.49 ------ 虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的负担相对的会很重. 而等额本息还款法是每月还银行相等的金额，客户的负担没那么大，所以，银行一般都推荐等额本金还款法. 5.其他还款方式 银行推出不同的房贷方式，只是为了满足收入情况不同的各种借款人的需要。虽然理论上总