材料力学(能量法).ppt

§10-4 互等定理 1、 功互等定理　　对于线弹性体-------此物体可以代表梁，桁架，框架或其它类型结构 同时：物体上已作用有Qj且其值不变，Qj在由于Pi引起的Qj作用点及方向的位移δQi 由于： 变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无 关，故必有U1=U2，从而得功互等定理的表达式为： 2、位移互等定理 利用上式，并设两组力各只有一个力Pi、Qj 作用于同一物体，则有： 若将Qj 引起的相应于Pi位移写成δji ，将Pi 引起的相应于Qj 的位移写成δij 互等定理中的力与位移都应理解为广义的:1、如果力换成力偶2、则相应的位移应是转角位移 ★请看动画演示→ 例：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图，试用互等定理求解。 第一组力在第二组力引起的位移上所做的 功为： 由此解得： §10-5 卡氏定理 §10-6 虚功原理 虚功原理(虚位移原理)： 如果给在载荷系 作用下处于平衡的可变形 结构以微小虚位移，则外力系在虚位移上所做 的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功。 轴力、弯矩、剪力、扭矩在变形虚位移上所做的 虚功为（略去高阶小量）： ? 可以是某一(或某几个)真实位移的增量 能量原理在杆件位移 分析中的应用 第10章 虚位移必须微小的、满足 变形协调条件（包括约束条件) ? 可以是另外一个与之相关的系统的真实位移 应用于弹性体的虚位移原理 能量原理在杆件位移 分析中的应用 第10章 虚位移必须微小的、满足 变形协调条件（包括约束条件) ? 可以是另外一个与之相关的系统的真实位移 ? 可以是某一(或某几个)真实位移的增量 ? 可以是与真实位移有关的位移，也可以与 真实位移无关 ? 可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。 应用于弹性体的虚位移原理 能量原理在杆件位移 分析中的应用 第10章 虚位移必须微小的、满足 变形协调条件（包括约束条件) 即： 外力虚功=内力虚功 已知： 1、梁受外力P1 ，P2 ，…，Pn及分布载荷q(x) 作用 而处于平衡。 2、在给此梁任一虚位移时，所有载荷作用点均有沿其作用方向的虚位移ν*1，ν*2 ，… ν*n ，和ν*(x) 证明： 一、外力虚功 外力在相应虚位移上的总虚功为： 二、内力虚功 可从梁中取出任一微段dx 1、剪力 Q、Q+dQ， 2、弯矩 M、M+dM， 3、轴力 N、N+dN， 4、扭矩 T、T+dT， 微段的虚位移包括： 1、刚体虚位移 2、变形虚位移 质点系虚位移原理：由于微段处于平衡状态，所有外力对于该微段的刚体虚位移所做的总虚功必等于零。 N、N+dN Q、Q+dQ M、M+dM T、T+dT 根据能量守恒，这两个总虚功相等，故有： 适用范围： 1、线性弹性材料 2、非线性应力-应变关系的材料 原因： 在导出虚功原理时，并没有涉及应力-应变关系，因此与材料性质无关 外力虚功=内力虚功 外力虚功=虚应变能 * 第十章 能量方法 计算应变能时能 不能应用叠加原理 M 和 F 引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？ 如果将 M 换为扭转力偶 Mx ,Mx 和 F 引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？ 关于应变能的计算 比较基本变形杆件的变形能计算公式 变形能 =内力功= (内力2)*杆件长度 2*(杆件刚度) （克拉贝依隆原理） 线弹性体的变形能等于每个外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。 在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条件下，存储在弹性体内的变形能可以表示为， 即，在上述三个条件下，弹性体内的变形能与外力加载的次序（加载路径）无关。 第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功， ------------功互等定理。 证明: 第一组力: 有m个载荷P1，P2，…，Pm P引起相应位移为δPi 引起第二组力Q作用点及其方向的位移为δQi 第二组力: 有n个载荷Q1，Q2，…，Qn Q引起相应位移为δ′Qi 引起第一组力P作用点及其方向的位移为δ′Pi 第一步： 先将第一组力Pi（i=1,2,…,m）单独作用， 这组力引起其作用点沿该组力作用方向位移为δPi (i=1,2,…,m)（相应位移)， 其所做的功为： 第二步： 随后作用上第二组力Qj（j=1,2,…,n）此时Qj在其 相应位移δ′Qi 其所做的功为： 与此同时： 因为P