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习题一
什么叫数值方法?数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何?数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法
x
max xi ,
x
( x1 , x2 ,
xn ) T
R n 及 A
n
R n n .
2.
试证明
max
aij , A
( aij )
1
i
n
1 i
n
1
j
证明:
( 1)令 xr
max xi
1 i n
n
p
1/ p
n
xi
p
1/ p
n
xr
p
1/ p
1/ p
x
lim(
xi
lim
xr
[
(
]
lim
xr [
lim
xr
)
)
(
) ]
xr n
p
i 1
p
i 1 xr
p
i 1 xr
p
即 x
xr
n
p
1/ p
n
p
1/ p
又 lim(
lim(
xr
xi
)
xr
)
p
i
1
p
i 1
即 x
xr
x
xr
⑵
设 x
(x1,... xn )
0 ,不妨设 A
0
,
n
n
n
n
令
max
aij
Ax
max
aij
xj
max
aij x j
max xi max
aij
x
1 i n
j 1
1 i n
j
1
1 i n
j 1
1 i n
1 i n
j 1
即对任意非零 x
Rn
,有
Ax
x
下面证明存在向量
x0
0 ,使得
Ax0
,
x0
n
( x1,... xn )T 。其中 xj
设
j
ai0 j
,取向量 x0
sign(ai 0 j )( j
1,2,..., n) 。
1
n
n
显然 x0
1
且 Ax0
任意分量为
ai0
j
x j
ai0 j
,
i
1
i
1
n
n
故有 Ax0
max
aij
x j
ai0 j
即证。
i
i
1
j
1
古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率的近似值,问此近似值具有多少位有效数字?
113
解: x
325
0.314159292
101
133
x
x
355
0.266
10 6
0.5 101 7 该近似值具有
7 为有效数字。
113
1
4. 若 T(h)逼近其精确值 T 的截断误差为
R(T ) : T (h) T
Ai h2 i
i 1
T0 ( h)
T (h)
其中,系数 Ai 与 h 无关。试证明由
4 m Tm 1 ( h )
Tm 1 ( h)
Tm(h)
2
, m 1,2,
4 m
1
所定义的 T 的逼近序列 {Tm (h)} 的误差为 Tm (h) T
Ai( m) h 2m 2
,
i 1
其中诸 Ai(m) 是与 h 无关的常数。
证明:当
m=0 时
左边
( ) -
2 i
右边
T0 h T=
i h
i 1
设 m=k 时等式成立,即
T(k
h) - T=i(k) h2 k 2i
i 1
当 m=k+1 时
4k 1Tk ( h ) Tk ( h)
4k 1[T
i( k ) ( h) 2k 2 i ] [T
i( k) (h)2 k 2i ]
Tk (1
h) - T=
2
T =
i 1
2
i 1
T
4k 1 1
4k 1 1
(i k) (h)2( k 1) 2i 即证。
i 1
习题 2
试构造迭代收敛的公式求解下列方程:
( 1) x
cos x
sin x ;
(2) x
4
2x 。
4
解:
( 1)迭代公式 xk
1
cos xk
sin xk
, ( x)
cos x
sin x ,
(x)
1 公式收敛
4
4
k
0
1
2
3
xk
0
0.25
0.25098
0.25098
x*
0.25098
( 2) ( x)
ln(4
x)
, x0
1.5 ,
(x0 )
1 局部收敛
ln 2
xk 1
ln(4
xk )
ln 2
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk
1.5
1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* 1.386
2. 方程 x3
x 2
1 0 在 x 1.5 附近有根,把方程写成三种不同的等价形式:
( 1) x
1
1
,对应迭代公式 xk
1
1
1
x
2
2 ;
xk
( 2) x 3
1
x2
,对应迭代公式
xk 1
3 1
xk2
;
( 3) x2
1
,对应迭代公式 xk
1
1
。
x 1
xk
1
判断以上三种迭代公式在
x0
1.5 的收敛性,选一种收敛公式求出
x0
1.5 附近的根到 4 位有效数字。
解:
( 1) (x)
1
1
(x)
2
( x )
1
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