二次函数求最值方法总结计划.docx

XX 教育辅导教案 学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师 上课时间 年月日 第（）次课 课时：课时 共（）次课 教学课题 二次函数求最大值和最小值 教学目标 利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值 教学重点 含有参数的二次函数最值求解。 与难点 课堂引入： 由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题方法的重要性 （初高中衔接、高中必修一重点学习内容） 。 2) 当 2 x 2 时，求函数 y x2 2x 3 的最大值和最小值． （引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫） 二次函数求最值方法总结： 一、设 y ax2 bx c(a 0) ，当 m x n 时，求 y 的最大值与最小值。 1、当 a 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 y 的最值： 1) 当 m b n 时， x b 时， y 取最小值： ymin 4ac b 2 ； y 的最大值在 x m 或 x n 处 2a 2a 4a 取到。 2) b m ，二次函数在 m x n 时的函数图像是递增的，则 x m 时， y 取最小值；则 x n 若 2a 时， y 取最大值。 若 b x n 时的函数图像是递减的，则 x n 时， y 取最小值；则 x m n ，二次函数在 m 2a 时， y 取最大值。 2、当 a 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 y 的最值： 1) 当 m bn 时， x b 时， y 取最大值： y max 4ac b2 ； y 的最小值在 x m 或 x n 处 2a 2a 4a 取到。 2) b x n 时的函数图像是单调递减的，则x n 时， y 取最小值；则 若 m ，二次函数在 m 2a m 时， y 取最大值。 若 b x n 时的函数图像是单调递增的，则 x m 时， y 取最小值；则 n ，二次函数在 m 2a n 时， y 取最大值。 二、二次函数最值问题常见四种考察题型： 对称轴定、 x 取值范围定； 对称轴定、 x 取值范围动； 对称轴动、 x 取值范围定； 对称轴动、 x 取值范围动。 【例题解析】 例 1．当 2 x 4 时，求函数 y x 2 2 x 1 的最大值和最小值． 分析： 作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值． 解：作出函数的图象．当 x 2 时， ymin 1 ，当 x 4 时， ymax 9 ． 【变式训练】 变式 1、当 1 x 2 时，求函数 y x2 x 1 的最大值和最小值． 分析： 作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值． 解：作出函数的图象．当 x 1 时， ymax 1 ，当 x 2 时， ymin 5 ． 【例题解析】 例 2、当  t  x t 1  时，求函数  y  1 x2  x  5  的最小值  (  其中  t 为常数  )  ． 2  2 分析：由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数 y 1 x2 x 5 的对称轴为 x 1 ．画出其草图． 2 2 (1) 当对称轴在所给范围左侧．即 t 1 时：当 x t 时， ymin 1 t 2 t 5 ； 2 2 (2) 当对称轴在所给范围之间．即 t 1 t 1 0 t 1 时： 当 x 1 时， ymin 1 12 1 5 3； 2 2 (3) 当对称轴在所给范围右侧．即 t 1 1 t 0 时： 当 x t 1 时， ymin 1 (t 1) 2 (t 1) 5 1 t 2 3 ． 2 2 2 1 t 2 3,t 0 2 综上所述： y3,0 t 1 1 t 2 t 5 , t 1 2 2 【变式训练】 变式 2、当 t x t 1 时，求函数 y 1 x2 x 5 的最小值 ( 其中 t 为常数 ) ． 2 2 方法总结： 1、图像法求二次函数最值； 2、利用分类讨论思想和二次函数图像特点求解二次函数最值。 （对称轴、 x 取值范围、函数图像增减性） 作业： 1、当 1 x 3 时，求函数 y x 2 4 x 3 的最大值和最小值． 2、当 t x t 2 时，求函数 y x2 x 1 的最大值 ( 其中 t 为常数 ) ．