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二分图的最优匹配（KM 算法） KM 算法用来解决最大权匹配问题： 在一个二分图内，左顶点为 X，右顶点为Y，现对于每组左右连 接 XiYj 有权 wij，求一种匹配使得所有wij 的和最大。 基本原理 该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题 的。设顶点Xi 的顶标为A[ i ]，顶点Yj 的顶标为B[ j ]，顶点 Xi 与 Yj 之间的边权为 w[i,j]。在算 法执行过程中的任一时刻，对于任一条边 (i,j)，A[ i ]+B[j]=w[i,j]始终成立。 KM 算法的正确性基于以下定理： 若由二分图中所有满足 A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配， 那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X 点集中的所有点都有对应的匹配 或者是 Y 点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。 这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等 于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以 相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。 初始时为了使 A[ i ]+B[j]=w[i,j]恒成立，令 A[ i ]为所有与顶点 Xi 关联的边的最大权，B[j]=0。 如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完 备匹配为止。 我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个 X 顶点，我们找不到一条从它出发的交错 路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是 X 顶点。现在我们把交错树中 X 顶点的顶标全都 减小某个值 d，Y 顶点的顶标全都增加同一个值 d，那么我们会发现： 1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图， 现在仍属于相等子图。 2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和 B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于） 相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。 3）X 端不在交错树中，Y 端在交错树中的边 (i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于 相等子图，现在仍不属于相等子图。 4）X 端在交错树中，Y 端不在交错树中的边 (i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原 来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。 （针对之后例子中x1-y4 这条边） 现在的问题就是求 d 值了。为了使 A[ i ]+B[j]=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图， d 应该等于： Min{A[i]+B[j]-w[i,j] | Xi 在交错树中，Yi 不在交错树中}。 改进 以上就是KM 算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为 O(n4)——需要找 O(n)次增广 路，每次增广最多需要修改 O(n)次顶标，每次修改 顶标时由于要枚举边来求 d 值，复杂度为 O(n2)。 实际上 KM 算法的复杂度是可以做到 O(n3)的。我们给每个Y 顶点一个 “松弛量”函数 slack，每次 开 始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边 (i,j)时，如果它不在相等子图中，则 让 slack[j]变成原值与 A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y 顶点的 slack 值中的最小值作为 d 值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的不在交错树中的 Y 顶点的 slack 值都减去 d （因为：d 的定义为 min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S, y∉ T } （关键，关键），此时属于S 的X 均已经减去 d 了，所以不属于T 的 y 也要减去 d，防止下次循环更改 出错）。 Kuhn－Munkras 算法流程： (1)初始化可行顶标的值 (2)用匈牙利算法寻找完备匹配 (3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值 (4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止 例 已知K5,5 的权矩阵为 y1 y2 y3 y4 y5 x1 3 5 5 4 1 x2 2 2 0 2 2 x3 2 4