二分法、牛顿法、割线法、Steffencen法求非线性方程MATLAB实现.pdf

数值分析实验 ——求非线性方程的零点 10级数学与应用数学1班 郝少强 摘要 本报告主要介绍了基于求非线性方程零点问题的牛顿法、二分法，简易牛顿 法、割线法、Steveson法等数值分析方法的算法原理及实现方法。通过对非线 3 性方程f(x)= x −3x−1= 0分别运用以上五种不同的迭代法进行数值实验，对几 种迭代法的运算量，空间存储使用，迭代步数进行了初步分析评价，并对几种迭 代法分别适用于求解何种类型的非线性方程进行了简要分析说明 A．牛顿法 一、算法介绍 牛顿法是一种能在许多不同情况下应用的通用过程。特别的，当用它来求实 变量实值函数零点时，常常被成为牛顿—拉弗森迭代。由于其收敛是二次的而不 是线形或超线性的，所以通常牛顿法对分法和割线法要快。一旦二次收敛变得有 效时，即牛顿法序列的值能充分地接近根时，其收敛很快以至于仅仅再需要几个 数值即可。不完美的是，牛顿法不能保证总是收敛，所以实际计算中常常将其与 其他较慢的方法结合形成一种数值上整体收敛的混合方法。 x 假设我们有一个函数 ，其零点由数值计算得出。设 是 的零点，而 是 f r f r的一个近似。若 存在并且连续，则由泰勒定理，得 f 2 0= f(r)= f(x+ h)= f(x)+ hf(x)+O(h ) 2 h=r−x h x 其中 ，若 较小（即 在 附近），则有理由略去 项，并且在余下 r O(h） h 的方程中求 ，其结果是 −f(x) h= f(x) f(x) x 若 是 的一个近似，则 应该是 的一个更好的近似。牛顿从 的一个 r x− r r f(x) 估计 开始，然后归纳定义 x 0 f(x ) x = x − n (n≥ 0) n+1 n f(x ) n 二、算法描述 用牛顿法求方程f(x)=x^3-3*x-1=0在x0=2附近的根，已知根的准确值为 −5