三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案).docx

· 三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ; S BOC S AOC S AOB 1 若 O 是 ABC 的重心，则 S ABC OA OB OC 0 ; 3 故 uuur uuur uuur uuur G 为 ABC 的重心 . PG 1 ( PA PB PC ) 3 2）O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB ： ： tan A tan B tan C 故 tan A OA tan BOB tan COC 0 3）O 是 ABC 的外心 2 2 2 | OA | | OB | | OC | (或 OA OB OC ) O 是 ABC 的外心 则 S ： S AOC ： S AOB sin ： AOC ： AOB sin2A : sin2B : sin 2C BOC BOC sin sin 故 sin 2A OA sin 2B OB sin 2COC 0 4）O 是心 ABC 的充要条件是 OA AB AC ) OB ( BA BC ) OC ( CA CB ) 0 ( | AC | BA | | BC | | AB | CA | | CB | 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB , BC ,CA 的单位向量为 e1 , e2 ,e3 ，则刚才 ABC 心的充要条件可以写成： OA ( e1 e 3 ) OB ( e1 e 2 ) OC ( e 2 e3 ) 0 O 是 ABC 心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0 若 O 是 ABC 的心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a： b ： c A 故 aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin C OC 0; e1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r P ABC 的心 ; | AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 uuur uuur 向量 AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的心 ( 是 BAC 的角平分线 ( uuur uuur | AB | | AC | B 所在直线 ) ； 二． 例 (一)．将平面向量与三角形心结合考查 P 例 1． O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ，0, 则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ） AB AC  是 e2 C Word 资料 · （A ）外心（ B）心（ C）重心（ D）垂心 AB uuur uuur uuur 解析：因为 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e1和 e2 ，又 AB OP OA AP ，则原式可化为 AP (e1 e2 ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在 ABC 中， AP 平分 BAC ，则知选 B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生” ，首先 AB 是什么？没见过！想想，一个非零 AB 向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量 的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。 (二 )将平面向量与三角形垂心结合考查 “垂心定理” 例 2． H 是△ ABC 所在平面任一点， HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC 的垂心 . 由 HA HB HB HC HB ( HC HA ) 0HB AC 0 HB AC , 同理 HC AB ， HA BC .故 H 是△ ABC 的垂心 . （反之亦然（证略）） 例 3.()P 是△ ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ ABC 的（ D ） A ．外心 B．心 C．重心 D．垂心 解析 :由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0 . PB (PA PC) 0,即PB CA 0 则 PB CA,同理 PA BC, PC AB 所以 P 为 ABC 的垂心 . 故选 D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及 “数量积为零，则两向量所在直线垂直 ”、