分式方程_无理方程和高次方程的解法讲练.docx

. 第一讲 分式方程 (组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换 元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大 (或缩小 )未知数的取值范围，故必须验根．例 1 解方程 解 令 y=x 2 ＋2x-8 ，那么原方程为 去分母得 y(y-15x) ＋ (y+9x)(y-15x) ＋ y(y＋ 9x)=0 ， 2 2 ， y -4xy-45x =0 (y+5x)(y-9x)=0 ， 所以 y=9x 或 y=-5x ． 由 y=9x 得 x2+2x-8=9x ，即 x2-7x-8=0 ，所以 x1=-1 ， x2=8 ；由 y=-5x ，得 x2+2x-8=-5x ，即 x2＋7x-8=0 ，所以 x3=-8 ， x4=1 ． 经检验，它们都是原方程的根． 例 2 解方程 Word 文档 . 2 y -18y+72=0 ， 所以 y1=6 或 y2=12 ． Word 文档 . 2 x -2x ＋6=0 ． 此方程无实数根． 2 x -8x+12=0 ， 所以 x1=2 或 x2=6 ． 经检验， x1=2 ， x2=6 是原方程的实数根． 例 3 解方程 Word 文档 . 分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x＋9=0 ， x=-9 ． 经检验知， x=-9 是原方程的根． 例 4 解方程 Word 文档 . 分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和， 这样原 方程即可化简．原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3) ． Word 文档 . 例 5 解方程 分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1，故可考虑把一个分式拆成两个 分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为 Word 文档 . 整理得 去分母得 x2＋ 9x-22 ＝ 0， 解得 x1=2 ， x2=-11 ． 经检验知， x1=2 ， x2 =-11 是原方程的根． 例 6 解方程 Word 文档 . 次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方 程变形为 所以 2 2 ． x=0 或 2x -3x-2=2x +5x-3 Word 文档 . 例 7 解方程 分析与解 形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为 Word 文档 . 当 x≠ 0 时，解得 x= ±1． 经检验， x= ±1 是原方程的根，且 x=0 也是原方程的根． 说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验． Word 文档 . 例 8 解方程 解 将原方程变形为 Word 文档 . Word 文档 . 例 9 解关于 x 的方程 Word 文档 . Word 文档 . 将 x1=a-2b 或 x2 =b-2a 代入分母 b+x ，得 a-b 或 2(b-a) ，所以，当 a≠ b 时， x1 =a-2b 及 x2=b-2a 都是原方 程的根．当 a=b 时，原方程无解． 例 10 如果方程 只有一个实数根，求 a 的值及对应的原方程的根． 分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得 2 ． ① 2x -2x+(a+4)=0 原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是： (1)方程①有两个相等的实数根，即 △ =4-4 ·2(a+4)=0 ． Word 文档 . (2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为 0 或 2 ． (i)当 x=0 时，代入①式得 a+4=0 ，即 a=-4 ．这时方程①的另一个根是 x=1( 因为 2x 2 ，x(x-1)=0 ，x1=0 -2x=0 或 x2 ＝1．而 x1＝ 0 是增根 )．它不使分母为零，确是原方程的唯一根． (ii)当 x=2 时，代入①式，得 2×4-2 ×2＋ (a+4)=0 ， 即 a=-8 ．这时方程①的另一个根是 2 ．(x-2)(x+1)=0 ，所以 x1=2( 增根 )，x2=-1) ．它不使分 x=-1( 因为 2x -2x-4=0 母为零，确是原方程的唯一根． 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的 a 的值分别是 练习一 1．填空： Word 文档 . (3)如果关于 x 的方程 有增根 x=1 ，则 k=____． Word 文档 . 2．解方程 3．解方程 4．解方程 Word 文档 . 5．解方程 6．解方程 7． m 是什么数值时，方程 Word 文档 . 有根？ 第二