定积分教学教案.docx

《数学分析》 之九 第九章 定积分（ 14+4 学时） 教学大纲 教学要求： 1． 理解 Riemann定积分的定义及其几何意义 2． 了解上和与下和及其有关性质 3． 理解函数可积的充要条件，了解 Riemann可积函数类 4． 熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5． 了解积分第一中值定理 6． 掌握变上限积分及其性质 7． 熟练掌握 Newton-Leibniz 公式，定积分换元法，分部积分法 教学内容： 问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程） ，定积分定义，几何意义， 可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分 的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换 元法及分部法。 第 页 --------- 月 时 ---------日 课 星 期 间 题 ---------------- -  § 1 定积分概念 （ 2 学时） 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等， 以及解决这些实际 教学目的 问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限， 进而会利用定义解决问题； 教学重点 深刻理解并掌握定积分的思想 教学难点 理解并掌握定积分的思想，理解定积分是特殊和式的极限 课 型 理论讲授 教学媒体 教法选择 讲 练 结 合 教 学 过 程 教法运用及板书 要点 复习极限的 定义，极限的唯一性定理； 导数的引入例子及其物理意义； 不定积分概念，及其与导数运算的性质； 定积分是特殊和式的极限 一、问题背景： 曲边梯形的面积 : 思想：以“不变”代“变” ：方法：分割；近似；求和；取极限 设函数 f (x) 在闭区间上连续，且。则由曲线 ，直线，以及轴所围成的平 面图形 （如下左图），称为曲边梯形。 下面将讨论该曲边梯形的面积 （这是 求任何曲线边界图形的面积的基础） 。 在区间内任取个分点，依次为 它们将区间分割成个小区间， 。记为，即，。并用表示区间的长度，记，再 用直线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形 （如上右图）。在每个小区间， 上任取一点，，作以为高，为底的小矩形，其面积为，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于 f (x) 连续，它在每个小区间上的变化不大，从而可 用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。 于是，该 曲边梯形面积的近似值为 此表 2 学时填写一份， “教学过程”不足时可续页 第 页 。 从而 。 2. 变力所作的功  : 思想：以“不变”代“变” ：方法：分割；近似；求和；取极限 变力所作的功 W 设质点受力 F 的作用沿轴由点移动到点，并设 行于轴（如下图） ，同上述，有  F 处处平 ， 而 根据上述两个例子建立数学模型 对于函数 y f (x) x [ a,b] ，按照上述方法，讨论“极限” 方法：分割；近似；求和；取极限 二、定积分的定义 : 有关概念： 分割；分割 T 的模 积分和（黎曼和） ； 可积， 黎曼可积，被积函数，积分变量，积分区间，积分上限、积分下限 函数  y  f ( x)  x  [ a, b]  ，方法：分割；近似；求和；取极限 定义 设是定义在 [] 上的一个函数，对于 [] 的一个分割，任取点， ，并作和 式。 称此和式为在 [] 关于分割 T 的一个积分和，也称黎曼和。 （注：积分和既与 分割 T 有关，也与点的取法有关） 。 又设是一个确定的实数，若对任给的，总存在， 使得对 [] 的任意分割 T， 以及 ，，只要，就有 第 页 。 则称函数在 [] 上可积或黎曼可积。数称为函数在 [] 上 的定积分或黎曼积分，记作： 其中称为被积函数，称为积分变量， [] 称为积分区间，称为被积式，分别 称为积分的下限和上限。 定积分的几何意义； 连续函数定积分存在（见定理） 三、举例 : 例 1 已知函数在区间上可积 . 用定义求积分 . 解 取 等分区间 作为分法 T , xi b n 取 .= . 由函数 f ( x) 在区间 [ 0,b] 上可积 , 每个特殊积分和之极限均为该积分值. 例 2 已知函数 f ( x) 1 在区间 [0,1] 上可积 , 用定义求积分 . 1 x2 解 分法与介点集选法如例 1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 . 四、小结：指出本讲要点 定积分的概念（几何意义） ； 定积分的问题背景； 若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例 1）。 作业： 课后 1. 2. （ 1）（2） 此表 2 学时填写一份， “教学过程”不足时可续页 --------- 月 时 ---------日 课 星 期 间 题 --