空间向量的夹角和距离公式讲课.ppt

§ 9.6 空间向量的夹角和距离公式 莱州市第十三中学 孙兴文 一、向量的直角坐标运算 则 设 ) , , ( ), , , ( 3 2 1 3 2 1 b b b b a a a a ? ? ; ? ? a b ; ? ? a b ; ? ? a ; ? ? a b / / ; . ? ? ab ; ? ? a b 1 1 2 2 3 3 ( , , ) ? ? ? ab a b a b 1 1 2 2 3 3 ( , , ) ? ? ? ab a b a b 1 2 3 ( , , ) , ( ) ?? ? ? ? a a a R 11 2 2 3 3 ? ? a b a b a b 1 1 2 23 3 , , ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? a b a b a b R 1 1 2 2 2 2 / / / ? ? a b ab ab 1 1 22 33 0 ? ? ? a b a b a b | | ? ? ? ? u u u r u u u r u u u r u u u r g A B A B A B A B 2 1 2 1 2 1 ( , , ) ? ? ? x x y y z z 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? x x y y z z 2 2 2 , 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? A B d x x y y z z 在空间直角坐标系中，已知 、 ，则 1 1 1 ( , , ) Ax y z 2 2 2 ( , , ) Bx y z 二、距离与夹角 （ 1 ）空间两点间的距离公式 c o s , | | | | ? ? ? ? ? r r r r r r a b ab a b 11 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ; ? ? ? ? ? ? ? ? a b a b a b a a a b b b （ 2 ） . 两个向量夹角公式 注意： （ 1 ）当 时， 同向； （ 2 ）当 时， 反向； （ 3 ）当 时， 。 c o s , 1 ? ? ? r r ab r r 与 a b c o s , 1 ? ? ? ? r r a b r r 与 a b c o s , 0 ? ? ? r r ab ? r r a b 思考：当 及 时， 的夹角在什么范围内？ 1 c o s , 0 ? ? ? ? rr a b , 1 0 c o s ? ? ? ? ? rr a b 练习一： 1. 求下列两个向量的夹角的余弦： ( 1 ) ( 2 , 3 , 3 ), ( 1 , 0 , 0 ) ; ? ? ? a b ( 2 ) ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ? ? ? ? ? a b 2. 求下列两点间的距离： ( 1 ) ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) ; A B ( 2 )( 3 , 1 , 5 ) , ( 0 ,2 , 3 ) . ? ? C D 三、应用举例 例 1 已知 、 ，求： 线段 的中点坐标和长度； (3, 3,1 ) A ( 1, 0, 5) B A B 解：设 是 的中点，则 ( , , ) M x y z A B ? ? 1 1 3 ( ) ( 3 , 3 , 1 )1 , 0 , 5 2 , , 3 , 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? u u u u r u u u r u u u r O M O A O B ∴ 点 的坐标是 . M 3 2 , , 3 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 , ( 1 3 ) ( 0 3 ) ( 5 1 ) 2 9 . ? ?? ?? ?? A B d O A B M 例 2 如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值。 1 1 1 1 ? A B C DA B C D 1 1 ? B E 1 1 1 1 4 ? ? AB DF 1 B E 1 D F F 1 E 1 C 1 B 1 A 1 D 1 D A B C y z x O 解：设正方体的棱长为 1 ，如图建 立空间直角坐标系 ，则 ? O xyz 1 3 ( 1 ,1 ,0 ) , 1 , ,1 , 4 ? ? ? ? ? ? B E 1 1 ( 0 ,0 ,0 ) , 0 , 1 . 4 ? ? ? ? ? ? ， D F 1 3 1 1 , , 1 ( 1 , 1 , 0 ) 0 , , 1 , 4 4 B E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? u u u u r 例 2 如图，在正方体 中， ，求 与 所成的