分式求值问题的解法.docVIP

解题思路与方法 分式求值问题的解法 姓名 分式求值问题是初中数学竞赛中的常见题型，此类题型在近几年各类考试中不断创新，富于变化。 一.观察法 细致观察已知条件所呈现的结构特征，揭示出藏而不露的数量关系，可使问题直观、明快地获解。 例1.（2001年北京市中学生数学竞赛）已知有理数x满足方程，则= . 提示：易知，即x=0. 故原式= 二.配方法 将已知代数式配成几个完全平方式和的形式，利用非负数性质，常能发现问题的隐含关系，得到简捷的巧解。 例2.（第5届“创新杯”全国数学邀请赛初二复赛）已知m2+n2+mn+m-n+1=0， 则= . 提示：由已知得2m2+2n2+2mn+2m-2n+2=0， 配方得 ，得m=-1,n=1 故=0 三.参数法 巧妙地引入参数，使其参与合理的运算，常能实现已知与未知的转化，使问题顺利得解。 例3.（2006年青少年数学国际城市邀请赛）非零实数a, b, c, d, x, y, z满足关系，求的值. 解：设，则 ，所以 ，所以原式为1. 四.倒数法 当直接求解难以入手，较为繁琐时，不妨转换思考的角度，适当地取倒数，可能化繁为简，得到出人意料的妙解。 例4.（2003年重庆市初中数学竞赛）若，则的值为（ ） A.10 B.8 C. D. 答：D 五.整体代换法 对所要考察的代数式，作整体代换，常能化难为易，得到出奇制胜的效果。 例5.（第15届“希望杯”全国数学邀请赛）已知， 则 = . 提示：由已知得 xy=1,x+y=10 故原式= 六.换元法 将问题中某些代数式视为一个整体，灵活地换元，经过恰如其分的推算，往往能避繁就简，迅速地求得结果。 例6.（2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题）已知a+b=1，且，则代数式化简最后结果是 。 提示：令 则 a=cx,b=(2007-c)y, 由已知，得 cx+(2007-c)y=1,ax+by= 联列，解得x=y= 故 原式= 或 由 又a+b=1,故 则 原式= 七.消元法 对于含多个变量的问题，可将其中一个变量视为主元，通过计算，消去其它的变量，使问题得以便利地解决。 例7.（2007年全国初中数学联赛）已知x、y、z满足，则的值为（ ） A.1 B. C.- D. 答：B 八.分解因式法 将问题中的有关代数式进行分解因式，结合已知条件，有目的地进行选择，问题常能迎刃而解。 例8.（第16届“希望杯”全国数学邀请赛）设b＜a＜0，,则等于（ ） A. B. - C. -3 D.3 提示：由得 2a2-5ab+2b2=0 分解因式得 (2a-b) (a-2b)=0 由b＜a＜0得a-2b＞0.于是2a-b=0.故选C。 九.赋值法 利用适合题设的某些特殊数值代换，经过简单的运算，问题便水落石出。 例9.（第18届江苏省初中数学竞赛）设，那么s与2的大小关系是（ ） A.s=2 B.s＜2 C.s＞2 D.s与2之间的大小关系与x的取值有关系 分析：令x=2,得s=,排除A,C;取x=,得s=,排除B. 十.构造方程法 根据已知特征，构造一元二次方程，借助判别式等手段，是处理代数式求值问题中常见的一种策略。 例10.（2007年全国初中数学竞赛天津市初赛）已知实数a,b,c满足 a－b+c=7 ,ab+bc+b+c2+16=0，则的值等于 . 分析：由已知，得 （-b）+a+c+1=8, -b(a+c+i)=c2+16 故可知a+c+1和-b为关于x的一元二次方程x2-8x+c2+16=0的两实数根。 由⊿=64-4(c2+16)≥0得c2≤0 但c2≥0,则有c=0.此时方程有两等根x1=x2=4 即 a+c+1=4,-b=4 故 十一.拆项相消法 在某些分式求值时，如出现诸多的分式之和形式，又不便于通分，针对问题的规律性，拆项相消不失明智之举。 例11.（2007年全国初中数学联赛）对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则= . 解： 由根与系数的关系得，，所以 ， 则， ＝. 十二.运用几何定理 对于有些涉及几何问题的分式求值题，利用几何定理、性质等，实现数形的巧妙沟通，长是立竿见影，简解顿生。 例12.（2004年山东省初中数学竞赛