函数周期性专题.docx

第七讲： 函数的周期性与对称性 （一）【 知识梳理】： 1.周期函数的定义：对于 f ( x) 定义域内的每一个 x，都存在非零常数 T ，使得 f (x T) f (x) 恒成立，则称函数 f (x) 具有周期性， T 叫做 f (x) 的一个周期， 则kT （k Z,k 0 ）也是 f ( x) 的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x) 的最小正周期 . 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数 y f x 满足对定义域内任一实数 x（其中 a为常数）, 1） f x f x a ，则 y f x 是以T a 为周期的周期函数； 2 ） f x a f x ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数； k 3） f x a (k 0) f x ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数； 4 ） 若函数f (x)是偶函数，且f (x a) f (a x) ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数； 5） 若函数f (x)是奇函数，且f(x a) f(a x) ，则 f x 是以T 4a 为周期的周期函数； 3.对称性： （1）函数关于原点对称即奇函数： f ( x) f (x) （2）函数关于 y 对称即偶函数： f ( x) f (x) （3）函数关于直线 x a对称： f ( x a) f (a x) （二）典例分析： 例 1. （ 安徽卷）函数 f x 对于任意实数 x 满足条件 f x 2 1 f x ，若 f 1 5,则 f f 5 __________ (2) 已知定义在 R上的奇函数 f (x) 满足 f (x 2) f ( x) ，则 f (6) 的值为_________ 例 2：设 f (x) 是定义在 R 上以6为周期的函数， f (x) 在(0,3) 内单调递减， 且 y f (x) 的图像关于直线 x 3对称，则下面正确的结论是 A. f (1.5) f (3.5) f (6.5) B. f (3.5) f (1.5) f (6.5) C. f (6.5) f (3.5) f (1.5) D. f (3.5) f (6.5) f (1.5) 例 3. 已知函数 f (x) 满足 f (1) 2, f (x 2) 2015 f (x) ，则 f ( 3) - f (9) 的值为 例 4. 已知 f (x) 是定义在实数集 R 上的函数，满足 f (x 2) f ( x) ，且 x [ 0 , 2时] ， 2 f ( x) 2x x. 1 求 x [ 2,0] 时， f (x) 的表达式； 2 证明 f (x) 是R 上的奇函数． 例5. f (x) 是定义域在 R 上的奇函数，且其图像关于直线 1 x 对称， 2 则 f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) = 2 x x (x 0) 例6.已知 ，则 f ( 2016) f ( 2015) f ( 2014) f (2015) f (2016)= f (x) 2 x x (x 0) 三．【巩固提高】 1. 设函数 f x （x R）是以 3为周期的奇函数，且 f 1 1, f 2 a,则（ ） A. a2 B. a -2 C. a1 D. a -1 2. （2006 山东）已知定义在 R上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x+2) =－f ( x), 则,f (10 ) 的值为 ( ) A.－1 B.0 C. 1 D.2 3．函数 f （x）是定义域为 R的偶函数，又是以 2 为周期的周期函数 . 若 f （x）在［－1，0］ 上是减函数，那么 f （x）在［2，3］上是( ) A.增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函 4．已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是偶函数，对 x R都有f (2 x) f (2 x)，当f ( 3) 2 时， f ( 2007 ) 的值为（ ） A．2 B．4 C．－2 D．－4 5. 若已知 f (x) 是R 上的奇函数，且满足 f (x 4) f (x) ，当x 0,2 时， 等于 A. 2 B. 2 C. 98 D. 98 2 f (x) 2x ，则 f (7) 6. 已知定义在 R上的函数 f (x) 满足 3 f (x) f x ，且 f 2 3，则 f (2014) 2 7. 设偶函数 f (x) 对任意 x R，都有 f (x) 2x ，则 f (113.5) f (x 3) 1 f (x) ，且当 x 3, 2 时， A. 2 7 B. 2 7 C. 1 5 D. 1 5 8．已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，满足 f ( x 2) f (x) ，且x [0, 2] 时， 2 f (x) 2x x . 1 求证： f