非对称屏蔽带状线的频域有限差分解法.docVIP

PAGE 1 非对称屏蔽带状线的TM模研究——频域有限差分法 非对称屏蔽带状线TM模的理论分析 本文研究的屏蔽带状线结构如图1所示 REF _Ref6734799 \r \h [1]。接地外导体为方形，边长为2b = 10 mm，导带平行于上下壁，到上下壁的距离壁为1:3，即c = 7.5 mm，到左右壁的距离为a。令ρ = a/b，则导带宽度l= 2b(1-ρ)，ρ的取值范围在0.3到0.7之间，导带宽度相对于外导体边长的变化率为l/2b = 1-ρ，其取值范围也在0.3到0.7之间。 图1 非对称屏蔽带状线 用自由空间波阻抗η0的平方根对Maxwell旋度方程中的电场和磁场进行归一化处理 REF _Ref6734841 \r \h [2]： (1.1) 上式中的等号代表赋值。设波导结构中不填充电磁介质，频域的Maxwell旋度方程可写为： (1.2) 其中，k0为自由空间波数。在外导体和导带表面，切向电场分量为零，边界条件为 (1.3) 对于TM模，纵向磁场Hz = 0，因此待求解的场分量就只剩下{Ex, Ey, Ez, Hx, Hy}5个。设波导结构在z方向是均匀的，波沿着正z方向传输，该结构中的场分量可表示为： (1.4) 其中，β是相位常数。  频域有限差分(FDFD)原理 2.1 网格划分 由于各场分量关于z的函数是复指数函数，场量对z的偏导可以用 –jβ 代替，三维Yee网格化为压缩的二维形式，如图2所示。Ez分量位于整网格点上，Ey和Hx位于与y轴平行的半网格点上，Ex和Hy位于与x轴平行的半网格点上，Hz位于Yee格的中心位置。 图2 二维Yee网格的压缩形式 由于波导截面是正方形区域，所以将外导体包围的场域划分成N×N个正方形网格，网格步长为h = 2b/N，图3展示的是4×4的二维压缩形式的Yee网格，“红点”表示各场分量所在的位置。 (a) (b) (c) (d) 图3 4×4的二维Yee网格: (a) Ey / Hx; (b) Ex / Hy; (c) Ez; (d) Hz. 2.2 数值建模 按照图3所示，对各场分量所在格点的位置进行编号。对一阶偏微分方程(1.2)式做离散化处理，偏微分运算采取中心差分格式，得到各场分量满足的差分方程(2.1)式 REF _Ref6734869 \r \h [3]。其中的(i, j)并不一定代表场域中相同位置，仅代表该场分量在所属格点图中的位置编号，如图2所示。 (2.1) 结合Ex和Ez的格点分布情况，为了能够直接应用边界条件(1.3)式，导带结构应该正位于整网格点上，网格数N取4的整数倍。导带宽度方向的取样点数为，其中，表示取整。导带中点的坐标为，最左侧点的坐标为，最右侧点的坐标为。 2.3差分方程的导出 由(1.3)式，可以得到该波导系统的离散化边界条件。场分量Ez满足的边界条件为： (2.2) 场分量Ex满足的边界条件为： (2.3) 场分量Ey满足的边界条件为： (2.4) 假设网格划分得足够细，引入离散边界条件(2.2) ~ (2.4)式，现以各场分量的第1, 2行格点为例进行说明：将每一行格点上的场分量构成一列向量，记作 (2.5) 根据方程可列出方程组 (2.6) 其中，A是N+1阶对角方阵，具体表达为A = diag( 0 1 1 … 1 1 0 )。第1行格点处的外导体结构会引入切向电场分量为0的边界条件，从而导致Hy(1), Ex(1), Ez(1)为0。这样不容易看出方程组的变化规律，进一步列出各场分量在第2行格点处满足的矩阵方程组： (2.7) 其中，I是N阶单位矩阵；B是N×(N+1)阶矩阵， BT表示对B做转置运算，B的具体表达式为： (2.8) 按照同样的方法，依次对第3行，第4行，……，第3N/4-2行上的格点列出一系列的矩阵方程，但是，当运算到第3N/4行和第3N/4+1行格点时，由于导带结构的存在，相应的矩阵方程会发生变化，不再与之前的形式相同。令d = 3N/4，各场分量在第d行和第d+1行格点处满足的方程组为： (2.9) (2.10) 其中，P是N+1阶对角方阵，Q是N阶对角方阵，R是N×(N+1)阶矩阵。P, Q, R的具体形式为：，， (2.11) 矩阵P, Q, R分别与矩阵A, I, B相对应。P相当于在A的基础上，将主对角线上最中间的2M+1个元素由1替换成0；Q相当于在I的