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（产品管理）【例】每箱产 品有件，其次品数从到是等 可能的 北京领航考研名师铁军 2006 年考研数学预测 38 题 31-38 【例31 】每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取壹 件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，假设壹件正品被误判 为次品的概率为 2% ，壹件次品被漏查误判为正品的概率为 10% 。 求： （1 ）检验壹箱产品能通过验收的概率； （2 ）检验 10 箱产品通过率不低于 90% 的概 率 【详解 】（1）设= “壹箱内有 i 件次品”，i=0 ， 1 ，2 。则 A 0 ,A 1 ,A2 俩俩不相容，其和为 Ω，构成壹个完备事件组。 1 设事件 B= “壹箱产品通过验收” ，B = “抽到壹件正品”。 依题意，有； 应用全概公式，得 又由于 B1 和为对立事件，再次应用全概公式有 （2 ）由于各箱产品是否通过验收互不影响，则设 10 箱产品中通过验收的箱数为 X ，X 服从参数为 n=10 ，P=P(B)=0.892 的二项分布。 【例32 】设随机变量 X 的密度函数为求随机变量的分布函数和密度函数。 【详解 】令， 取非零值的范围为 [1 ，2] 。当时，有 的分布函数 Y 的密度函数为 注意：本题中不是单调函数，不能直接用公式求解。此例表明，先考虑随机变量的取非 零值的范围，然后于此范围内求分布函数值能够简化运算。至于取非零值范围之外的分布函 数值，能够由分布函数的性质决定其为 0 或 1 。 【例33 】袋中有只黑球， 每次从中随意取出壹球， 且换入壹个白球， 如此交换共进行次。 已知袋中白球数的数学期望为 a ，则第 n+1 次从袋中任取壹球为白球的概率是 【详解 】依题意，袋中白球数是壹个随机变量， X 可取 0 ，1 ，2 ，……， n ，且 若记 B=“第n+1 次从袋中任取壹球为白球”， = “第n 次交换后袋中有个白球” ={X=k} 。 则由全概率公式，得 【例34 】设壹台机器上有 3 个部件， 于某壹时刻需要对部件进行调整， 3 个部件需要调 整的概率分别为且相互独立，任壹部件需要调整即为机器需要调整。 （1）求机器需要调整的概率； （2 ）记为需要调整的部件数，求期望、方差。 【详解 】设事件为机器要调整，记为第个部件需要调整， . （1）显然，则（根据事件的独立性知） . （2 ）求期望、方差有俩种解法： 解法壹： 先求的分布律，根 据分布律再求数学期望和方差。 根据的意义，显然有事件的记法如（ 1），且注意到事件之间的独立性，有 = ； ； . 所以，， ， 解法二： 能够不求的分布律，引进新的随机变量，利用期望、方差的性质求出期望、方 差。 现引进新的随机变量定义如下： 因此我们有 而服从分布， ， 所以， 又因为，且之间相互独立， 所以 . 【评注 】本题中解法二比解法壹简单得多，这就是引进新的随机变量的好处，但如何引 进新的随机变量是壹个难点。壹般于考研试题中，总是引进服从分布，用独立性和来简化计 算。 【例 35 】假设壹批共 100 件产品，其中壹、二、三等品分别为 80 ，10