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几何概型例题分析 [例1]?甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等 另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。 解：设x为甲到达时间，?y?为乙到达时间.建立坐标系，如图|?x???y?|??15?时可相见，即阴 影部分?P?? 60?2???45?2???7 ? 60?2?16 [例2]?设A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，求弦长超过半径 2?倍的概 率。 解：?| 解：?|?AB?|?|?AC?|?? 2R?. ∴??P????BCD ?????R 圆周 1 ? 2?R??2 [例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过?1 2  的概率。 解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1???x???y?，则基本事件 组所对应的几何区域可表示为 1 ????{(x,?y)?|?0???x???1,0???y???1,0???x???y???1}，即图中黄色区域，此区域面积为 。 2 事件“三段的长度都不超过 1 2  ”所对应的几何区域可表示为 此时事件“三段的长度都不超过?? ”的概率为?? 此时事件“三段的长度都不超过?? ”的概率为??P???8?? A???{(?x,?y)?|?(?x,?y)?????，?x?? ,?y?? ,1???x???y???} 2 2 2 1 1 1 即图中最中间三角形区域，此区域面积为???(?)?2?? 2 2 8 1 1 1 2 1 4 2 25?[例4]?两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机只有离基地25km范围 25? 内才能收到，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北 40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。 解：设?x,?y?为张三、李四与基地的距离?x???[0,30]?，?y???[0,40]?，以基地为原点建立坐 标系.他们构成实数对?(?x,?y?)?，表示区域总面积为1200，可以交谈即?x?2???y?2???25 1 ??252 故?P???4 ? 1200 192 [例?6]?在单位圆的圆周上随机取三点?A、B、C，求??ABC?是锐角三角形的概率。 解法?1：记??ABC?的三内角分别为??,???，??????????，事件?A?表示“??ABC?是锐角三角 形”，则试验的全部结果组成集合 ????{(??,???)|0?????,???????,0????????????}?。 因为??ABC?是锐角三角形的条件是 2??且????????0? 2??且???????? 所以事件?A?构成集合 ? 2 2??,0?????,????A???{(??, 2??,0?????,???? 由图?2?可知，所求概率为 ? 2?} A的面积1? A的面积 (?)?2 P(?A)?? ??2?2 ?的面积 1 ??2 2  1 ???。 4 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件 的概率。 [例?7]将长为?L?的木棒随机的折成?3?段，求?3?段构成三角形的概率． 解：设?M???“3?段构成三角形”．?x，y?分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为 ( 0 0L???x???y?．???????x，y)|0???x???L，???y???L，???x???y?? ( 0 0 由题意，?x，y，L???x???y?要构成三角形，须有?x???y???L???x???y?，即?x???y???1 2  ； x???(?L???x???y)???y?，即?y?? L 2  ；?y???(?L???x???y)???x?， 即?x?? L 2  ． 故??M????(?x，y 故??M????(?x，y)?|?x???y?? ，y?? ，x??? ??． ·? M的面积?? 2???2?? 1 ? 2 2 2?? 如?图 1 所?示?，?可?知?所?求?概?率?为 1???L??2 ? P(M?)?? ? ? ． L2?的面积 L2 2