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数值分析引论 易大义Ch4.2 2.1 最高代数精度求积公式 分析 四个未知量A0，A1，x0，x1，并知道插值型求积公式的 解 具有尽可能高的代数精度. 例4 求节点 ，使插值型求积公式 问题 结论 本节问题关键 §2 Gauss型求积公式 插 值 型 代数精度最高. 因此按插值型求积公式来求A0，A1. 一般地，对于任意求积节点 ，任意求积 系数，求积公式 分析 Gauss型求积公式的构造 ——利用正交多项式的根构造 分析 引理 1 证明 代数精度最高的求积公式 定义3 正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正 n+1个节点(a x0… xn b)的求积公式(2.2)若其代数 精度m=2n+1，即达到最高，称之为Gauss型求积公式, 并称其节点 为Gauss点. 交多项式的根？ 2.2 Gauss点与正交多项式的关系 定理4 分析 Gauss点ax0…xn b 是[a,b]上关于权 的n+1次正交多项式的根. 求积公式(2.2)是Gauss型的 “充分性”即是引理1的结论 . 以下只证必要性 只需证 证明 注 本定理说明Gauss求积公式的唯一性. “必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根. 代数精度m=2n+1 正交. 关于 2.3 Gauss求积公式的余项（截断误差） 由引理1知, xi(i=0,1,…,n)是Gauss点,则m=2n+1, 定理5 ，则Gauss求积公式(2.2)的余项为 分析 点,确定2n+1次多项式 ， 证明 若f(x)的Hermite插值多项式H2n+1(x) 满足插值条件 由n+1个 利用Hermite插值多项式. Gauss型求积公式是数值稳定的 2.4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性 1、稳定性 证明 上的连续函数 可以用代数多项式一致逼近, 对任意给定的 存在某个多项式 2、收敛性 引理2 上的任何连续函数 对于有限闭区间 结论 定理6 Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的 优点 （1）收敛、稳定; 缺点 （1）Gauss点难求（即多项式的根难求）; （1）f(x) 赋值量大; 使用情况 （2）计算的积分多. 连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到准确 积分值. （2）计算量小，代数精度高. （2）Gauss点是无理数， Gauss求积系数也是无理数. 2.5 几个常用的Gauss型求积公式 Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，有 1. Gauss-Legendre （勒让德）求积公式 2. Gauss- chebyshev （切比雪夫）求积公式 3. Gauss-Laguerre （拉盖尔）求积公式 4. Gauss-Hermite 求积公式 以下几种求积公式. 理解掌握Gauss型求积公式及其代数精度并会求Gauss型求积公式. 说明：（1）插值型求积公式代数精度大于n，多大？最大可 达到2n+1,即是Gauss型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根. 交多项式，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多项 （2）虽然对任意的[a,b]以及[a,b]上的权函数 都能构造正 式那样，归结成一个明确的表达式，也没有明确的规律，因此， 借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题. P207 1（2、4）、6 作业: 理解Gauss求积公式的数值稳定性、收敛性与余项、Gauss点与正交多项式的关系. 了解几个常用的Gauss型求积公式. 课本P.177 例5 编程: