(完整word版)三角函数与向量综合题.docx

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题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同, 但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中 .解答平移问题主要注意两个方面的确定: (1)平移的方向; (2) 平移的单位 .这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 . 【例 1】 把函数 y= sin2x 的图象按向量 → ,- 3)平移后,得到函数 y=Asin( ωx a = (- 6 + )(A > 0, ω>0, | |= )的图象,则 和 B 的值依次为 ( ) 2 A . 12,- 3 B . 3, 3 C. 3 ,- 3 D.- 12, 3 【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为 x= x + 6,再代入已知解析式可得 .还可以 y= y + 3 由向量的坐标得图象的两个平移过程, 由此确定平移后的函数解析式, 经对照即可作出选择 . 【解析 1】 由平移向量知向量平移公式 x = x- 6,即 x=x + 6,代入 y=sin2x 得 y = y-3 y= y + 3 π , B =- 3,故选 C. y + 3= sin2(x + 6),即到 y=sin(2x + 3) - 3,由此知 = 3 【解析 2】 → ,- 3),知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体 由向量 a = (- 6 向左平移 个单位,再向下平移 3 个单位,由此可得函数的图象为 y= sin2(x + )- 3,即 y 6 6 π = , B=- 3,故选 C. =sin(2x + )- 3,由此知 3 3 【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起, 主要考查分析问题、 解决问题的综合应用能力,同时考查方程的思想及转化的思想 .本题解答的关键,也是易出 错的地方是确定平移的方向及平移的大小. 题型二 三角函数与平面向量平行 (共线 )的综合 此题型的解答一般是从向量平行 (共线 )条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再 利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解 . 此类试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查 . 【例 2】 → , cosA + 已知 A 、 B、C 为三个锐角,且 A + B+ C= π若.向量 p = (2- 2sinA → = (cosA - sinA , 1+ sinA) 是共线向量 . sinA) 与向量 q (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)求函数 y= 2sin 2 B C-3B 的最大值 . + cos 2 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得 A 角的正弦 值,再根据角的范围即可解决第 (Ⅰ )小题;而第 (Ⅱ )小题根据第 (Ⅰ) 小题的结果及 A 、 B 、C 三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式,再根据 B 的范 围求最值 . 【解】 → → 共线,∴ (2- 2sinA)(1 + sinA) = (cosA + sinA)(cosA - sinA) ,则 (Ⅰ)∵ p 、 q 3 sin A =4, A 为锐角,所以 sinA = 23,则 A= 3. C- 3B (π- - B) - 3B = 2sin2B+ cos 3 (Ⅱ) y= 2sin2B + cos 2 2 = 2sin 2 = 1-cos2B+ 1 + 3 B + cos( - 2B) cos2B 2 sin2B 3 2 1 2 sin2B - 2cos2B+ 1=sin(2B - 6 )+ 1. 5 ∵ B∈ (0, 2),∴ 2B - 6∈ (- 6 , 6 ),∴ 2B- 6= 2,解得 B = 3, ymax= 2. 【点评】 本题主要考查向量共线 (平行 )的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性 .本题解答有两个关键: ( 1)利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题;( 2)根据条件确定 B 角的范围 .一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角 函数问题确定角的范围就显得至关重要了 . 题型三 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题, 解答时与题型二的解法差不多, 也是首先利用向量垂 直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解 .此类题型 解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 【例 3】 已知向量 → → α- 4cos α),α∈ ( 3 → ⊥ a = (3sin α ,cos,α)b= (2sin ,α5sin 2 ,2π),且 a → b . (Ⅰ)求 tan α的值; α

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