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题型一 三角函数平移与向量平移的综合
三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同,
但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中 .解答平移问题主要注意两个方面的确定: (1)平移的方向; (2) 平移的单位 .这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 .
【例 1】 把函数 y= sin2x 的图象按向量
→
,- 3)平移后,得到函数 y=Asin( ωx
a = (-
6
+ )(A > 0, ω>0, | |= )的图象,则
和 B 的值依次为
(
)
2
A . 12,- 3
B . 3, 3
C. 3 ,- 3
D.- 12, 3
【分析】
根据向量的坐标确定平行公式为
x= x + 6,再代入已知解析式可得 .还可以
y= y + 3
由向量的坐标得图象的两个平移过程,
由此确定平移后的函数解析式,
经对照即可作出选择 .
【解析
1】
由平移向量知向量平移公式
x = x- 6,即
x=x + 6,代入 y=sin2x
得
y = y-3
y= y + 3
π
, B
=- 3,故选 C.
y + 3= sin2(x +
6),即到 y=sin(2x + 3) - 3,由此知
= 3
【解析
2】
→
,- 3),知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体
由向量 a = (-
6
向左平移 个单位,再向下平移
3 个单位,由此可得函数的图象为
y= sin2(x + )- 3,即 y
6
6
π
=
, B=- 3,故选 C.
=sin(2x +
)- 3,由此知
3
3
【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起, 主要考查分析问题、
解决问题的综合应用能力,同时考查方程的思想及转化的思想 .本题解答的关键,也是易出
错的地方是确定平移的方向及平移的大小.
题型二
三角函数与平面向量平行
(共线 )的综合
此题型的解答一般是从向量平行
(共线 )条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再
利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解
.
此类试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查
.
【例 2】
→
, cosA +
已知 A 、 B、C 为三个锐角,且 A + B+ C= π若.向量 p = (2- 2sinA
→
= (cosA - sinA
, 1+ sinA) 是共线向量 .
sinA) 与向量 q
(Ⅰ)求角 A;
(Ⅱ)求函数 y= 2sin
2
B
C-3B
的最大值 .
+ cos
2
【分析】
首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得
A 角的正弦
值,再根据角的范围即可解决第
(Ⅰ )小题;而第 (Ⅱ )小题根据第 (Ⅰ) 小题的结果及
A 、 B 、C
三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角
B 的表达式,再根据
B 的范
围求最值 .
【解】
→
→
共线,∴ (2- 2sinA)(1
+ sinA) = (cosA + sinA)(cosA - sinA) ,则
(Ⅰ)∵ p
、 q
3
sin A =4,
A 为锐角,所以 sinA = 23,则 A= 3.
C- 3B
(π-
- B) - 3B
= 2sin2B+ cos
3
(Ⅱ) y= 2sin2B + cos
2
2
= 2sin
2
= 1-cos2B+
1
+
3
B + cos( - 2B)
cos2B
2
sin2B
3
2
1
2 sin2B - 2cos2B+ 1=sin(2B - 6 )+ 1.
5
∵ B∈ (0, 2),∴ 2B - 6∈ (- 6 , 6 ),∴ 2B- 6= 2,解得 B = 3, ymax= 2.
【点评】 本题主要考查向量共线 (平行 )的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性 .本题解答有两个关键: ( 1)利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题;( 2)根据条件确定 B 角的范围 .一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角
函数问题确定角的范围就显得至关重要了 .
题型三
三角函数与平面向量垂直的综合
此题型在高考中是一个热点问题,
解答时与题型二的解法差不多, 也是首先利用向量垂
直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解
.此类题型
解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.
【例 3】
已知向量
→
→
α- 4cos α),α∈ (
3
→
⊥
a = (3sin α
,cos,α)b= (2sin ,α5sin
2
,2π),且 a
→
b .
(Ⅰ)求 tan α的值;
α
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