(完整word版)三角函数与向量综合题.docx

题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同， 但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中 .解答平移问题主要注意两个方面的确定： (1)平移的方向； (2) 平移的单位 .这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 . 【例 1】 把函数 y＝ sin2x 的图象按向量 → ，－ 3)平移后，得到函数 y＝Asin( ωx a ＝ (－ 6 ＋ )(A ＞ 0， ω＞0， | |＝ )的图象，则 和 B 的值依次为 （ ） 2 A ． 12，－ 3 B ． 3， 3 C． 3 ，－ 3 D．－ 12， 3 【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为 x＝ x ＋ 6，再代入已知解析式可得 .还可以 y＝ y ＋ 3 由向量的坐标得图象的两个平移过程， 由此确定平移后的函数解析式， 经对照即可作出选择 . 【解析 1】 由平移向量知向量平移公式 x ＝ x－ 6，即 x＝x ＋ 6，代入 y＝sin2x 得 y ＝ y－3 y＝ y ＋ 3 π ， B ＝－ 3，故选 C. y ＋ 3＝ sin2(x ＋ 6)，即到 y＝sin(2x ＋ 3) － 3，由此知 ＝ 3 【解析 2】 → ，－ 3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体 由向量 a ＝ (－ 6 向左平移 个单位，再向下平移 3 个单位，由此可得函数的图象为 y＝ sin2(x ＋ )－ 3，即 y 6 6 π ＝ ， B＝－ 3，故选 C. ＝sin(2x ＋ )－ 3，由此知 3 3 【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起， 主要考查分析问题、 解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想 .本题解答的关键，也是易出 错的地方是确定平移的方向及平移的大小. 题型二 三角函数与平面向量平行 (共线 )的综合 此题型的解答一般是从向量平行 (共线 )条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再 利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解 . 此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查 . 【例 2】 → ， cosA ＋ 已知 A 、 B、C 为三个锐角，且 A ＋ B＋ C＝ π若.向量 p ＝ (2－ 2sinA → ＝ (cosA － sinA ， 1＋ sinA) 是共线向量 . sinA) 与向量 q （Ⅰ）求角 A； （Ⅱ）求函数 y＝ 2sin 2 B C－3B 的最大值 . ＋ cos 2 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得 A 角的正弦 值，再根据角的范围即可解决第 (Ⅰ )小题；而第 (Ⅱ )小题根据第 (Ⅰ) 小题的结果及 A 、 B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式，再根据 B 的范 围求最值 . 【解】 → → 共线，∴ (2－ 2sinA)(1 ＋ sinA) ＝ (cosA ＋ sinA)(cosA － sinA) ，则 （Ⅰ）∵ p 、 q 3 sin A ＝4， A 为锐角，所以 sinA ＝ 23，则 A＝ 3. C－ 3B (π－ － B) － 3B ＝ 2sin2B＋ cos 3 （Ⅱ） y＝ 2sin2B ＋ cos 2 2 ＝ 2sin 2 ＝ 1－cos2B＋ 1 ＋ 3 B ＋ cos( － 2B) cos2B 2 sin2B 3 2 1 2 sin2B － 2cos2B＋ 1＝sin(2B － 6 )＋ 1. 5 ∵ B∈ (0， 2)，∴ 2B － 6∈ (－ 6 ， 6 )，∴ 2B－ 6＝ 2，解得 B ＝ 3， ymax＝ 2. 【点评】 本题主要考查向量共线 (平行 )的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性 .本题解答有两个关键： （ 1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（ 2）根据条件确定 B 角的范围 .一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角 函数问题确定角的范围就显得至关重要了 . 题型三 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题， 解答时与题型二的解法差不多， 也是首先利用向量垂 直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解 .此类题型 解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 【例 3】 已知向量 → → α－ 4cos α)，α∈ ( 3 → ⊥ a ＝ (3sin α ,cos，α)b＝ (2sin ，α5sin 2 ，2π)，且 a → b ． （Ⅰ）求 tan α的值； α