(完整版)高等数学工专讲义.doc

接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相 信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。 常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不 起变化，我们把其称之为 常量 ；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我 们则把其称之为 变量 。 注： 在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象 是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用 区间 来表示其变化范围。 在数轴上来说， 区间 是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名 区间的满足的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示 称 闭区间 a≤x≤b [a ， b] 开区间 a＜ x＜ b （ a，b） 半开区间 a＜x≤b 或 a≤x＜ b （ a， b] 或 [a ， b） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a ，+∞) ：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为： a≤x＜+∞； (- ∞， b) ：表示小于 b 的实数的全体，也可记为： - ∞＜ x＜ b； (- ∞， +∞) ：表示全体实数，也可记为： - ∞＜ x＜+∞ 注：其中 - ∞和 +∞，分别读作 负无穷大 和 正无穷大 , 它们不是数 , 仅仅是记号。 邻域 设 α 与 δ 是两个实数， 且 δ＞ 0. 满足不等式│x - α│＜δ 的实数 x 的全体称为点 α 的 δ 邻域，点 α 称为此邻域的中心，δ 称为此邻域的半径。 函 数 函数的定义 如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量 y 按照一定的法则总有确定 的数值与它对应，则称 y 是 x 的函数 。 变量 x 的变化范围叫做这个 函数的定义域 。通常 x 叫做 自变量 ， y 叫做 因变量 。 注：为了表明 y 是 x 的函数，我们用记号 y=f(x) 、y=F(x) 等等来表示 . 这里的字母 f 、 F 表示 y 与 x 之间的对应法则即 函数关系 , 它们是可以任意采用不同的字母来表示的 . 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做 单值函数 ，否则叫做 多值函数 。这里我们只讨论单值函数。 1 函数的表示 ：解析法 ：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。 例： 直角坐标系中，半径为 r 、圆心在原点的圆的方程是： x2+y2 =r 2 ：表格法 ：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。 例： 在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 ：图示法 ：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。 例： 直角坐标系中，半径为r 、圆心在原点的圆用图示法表示为： 函数的简单性态 函数的有界性 如果对属于某一区间 I 的所有 x 值总有│ f(x) │≤M 成立，其中 M是一个与 x 无关的 常数，那么我们就称 f(x) 在区间 I 有界，否则便称无界。 注意： 一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题： 函数 cosx 在 (- ∞,+ ∞) 内是有界的 . 函数的单调性 如果函数 在区间 (a,b) 内随着 x 增大而增大，即：对于 (a,b) 内任意两点 x1 及 x2，当 x1 ＜ x2 时，有 ，则称函数 在区间 (a,b) 内是 单调增加 的。 如果函数 在区间 (a,b) 内随着 x 增大而减小，即：对于 (a,b) 内任意两点 x1 及 x2，当 x1 ＜ x2 时，有 ，则称函数 在区间 (a,b) 内是 单调减小 的。 例题： 函数 =x2 在区间 (- ∞,0) 上是单调减小的，在区间 (0,+ ∞) 上是单调增加 的。 函数的奇偶性 如果函数 对于定义域内的任意 x 都满足 = ，则 叫做偶函数； 如果函数 对于定义域内的任意 x 都满足 =- ，则 叫做奇函数。 注意： 偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。 函数的周期性 对于函数 ，若存在一个不为零的数 l ，使得关系式 对于定义域内任何 x 值都成立，则 叫做 周期函数 ， l 是 的周期。 注： 我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 2 例题：函数 是以 2 为周期的周期函数； 函数 tanx 是以 为周期的周期函数。 反函数 反函数的定义 设有函数 ，若变量 y 在函数的值域内任取一值 y 0 时，变量 x 在函数的定义 域内必有一值 x 0 与之对应，即 ，那末变量 x 是变量 y 的函数 . 这个函数用 来表示，称为函数 的反