数学史部分4-3-古希腊数学3.ppt

Ⅳ、Pappus 定理：若A,B,C与D,E,F分别是两条直线上的三个点，则AE,BF,CD分别与DB,EC,FA的三个交点共线. ⑤ 旋转体体积：（第七篇） 旋转体体积的Pappus定理： 一个平面图形绕同一平面上的轴线旋转而成的旋转体的体积＝平面图形面积其重心所转过的圆周长. 此定理到17世纪被古尔丁（P.Guldin）重新发现，又被称为古尔丁定理. ⑥ Pappus 问题： ? Apollonius曾断言：“可以求出这样一个动点的轨迹,它与两定直线距离的乘积＝它与另外两定直线距离的乘积×一个常数”. ? Pappus指出这个轨迹就是一个圆锥曲线，但他没有给出证明.他还进一步指出，这一问题可以推广到包含5条、6条或更多条直线的情形，这成为著名的Pappus问题. ? 17世纪，笛卡尔（Descartes）曾试图用分析方法来解决这个问题，这也是导致笛卡尔（Descartes）创立解析几何学（Analytic geometry）的一个重要因素. ? 《数学汇编》（Mathematical Collection）被认为是古希腊数学的安魂曲. Pappus 之后，古希腊数学开始衰落. （八）古希腊几何的三大难题： 工具：欧几里德工具 1、倍立方体 Doubling tne cube －圆锥曲线 传说在公元前4世纪，古希腊的雅典流行一种病疫，为了消除灾难，雅典人向日神求助。日神说：“如果要使病疫不流行，除非把我殿前的立方体香案的体积扩大一倍。”这个条件使雅典人很高兴，他们认为这是容易做到的，于是把旧香案的各棱放大一倍，做了一个新的立方体香案。然而疫势反而更加猖獗。当雅典人再去祈祷日神时，他们才知道新香案的体积并不是旧香案的两倍。这就难住了当时的人们，连最有名的学者柏拉图也感到无能为力。 倍立方体问题之所以不能解决，是因为作图时只能使用圆规和无刻度的直尺。这是古希腊人对作图的要求。 假设已知立方体的棱长是1个单位，那么这个立方体的体积便是1的3次方等于1。根据需求，要求作的立方体的体积是原立方体的两倍，即1×2=2，所以求作的立方体的棱长为2的立方根这一个无理数，通过有限次画线、作圆、求交点是无法作出长为2的3次根的线段的，所以倍立方体问题是不可能用直尺和圆规来解决的。 2、三等分角 Trisecting an angel 1837年凡齐尔（1814－1848）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。 在研究“三等分角”的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。 人们还发现，只要放弃“尺规作图”的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米德发现只要在直尺上固定一点，问题就可解决了。 现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点Ｐ，命尺端为Ｏ。设所要三等分的角是∠ＡＣＢ，以Ｃ为圆心，ＯＰ为半径作半圆交角边于Ａ，Ｂ；使Ｏ点在ＣＡ延线上移动，Ｐ点在圆周上移动，当尺通过Ｂ时，联ＯＰＢ（见图）。由于ＯＰ＝ＰＣ＝ＣＢ，所以∠ＣＯＢ＝∠ＡＣＢ／３。这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。 3、化圆为方 Squaring the circle——穷竭法 求一正方形，其面积和一已知圆的面积相同 在1882年证明π为超越数，因此也证实该问题仅用尺规是无法完成的。因为可用尺规作图画出的数称为规矩数，是代数数的一种。而π或 都不是规矩数。 但若放宽限制，这一问题可以通过特殊的曲线来完成。如西皮阿斯的割圆曲线，阿基米德的螺线等。 数学史部分4-3-古希腊数学3 ? 希腊最重要的几何学著作是《度量学》（Metrica），分三卷，是R.舍内（Schone）于1896年才在君士坦丁堡发现的. ? 第一卷：讲述各种图形的面积度量. ? 求非完全平方的整数平方根近似值的希罗方法 n=ab，则 第一近似值由 给出.此方法允许逐步近似. 的第一近似值 ， 第二近似值 第三近似值 ? 第二卷：讲述各种立体图形的体积测量，包括：锥体，柱体，平行六面体，棱锥，圆锥和棱锥的平截头体；球体球截形，锚环，五种正立方体和某些旁面三角台. ? 第三卷：讲述把一定的面积和体积依给定的比例分成两部分的问题. 另一本代表作：《测量仪器》 其中描述一种仪器，功能类似现代的经纬仪. （1）挖一个隧道，从山的两侧开始，找准方向，使隧道准确会合. （2）确定两点之间的高度差. （3）测量可望而不可及的两点间距离. （4）测量沟渠的深. （5）两城市间的距离. （6）本书最后论述如何运用齿轮的结构，用一个给定的力去移动给定的重物. Heron发明的机械： （1）“汽转球”, 也叫做“风神之球” 或“风神之门” ——第一个蒸汽机 （2）“自动售贷机”