(完整版)高等代数多项式习题解答.doc

第一章 多项式习题解答 1.用 g( x) 除 f ( x) ，求商 q( x) 与余式 r ( x) . 1） f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x 2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2） f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x 2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . m, p, q 适合什么条件时，有 1） x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 p 1 0, q m 时 x2 mx 1| x3 px q . 1 本题也可用待定系数法求解 .当 x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除 x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q .于是有 x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2） x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即 m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当 x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除 x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x2 ax q .于是 有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或 p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求 g( x) 除 f ( x) 的商 q( x) 与余式 r ( x) . 1） f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 117 327 2 6 13 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327. 2 2） f ( x) x3 x2 x, g( x) x 1 2i . 解:运用综合除法得 : 1 2i 1 1 1 0 1 2i 4 2i 9 8i 1 2i 5 2i 9 8i 商为 x2 2ix (5 2i ) ,余式为 9 8i . 4.把 f ( x) 表成 x x0 的方幂和，即表示成 c0 c1 ( x x0 ) c2 ( x x0 ) 2 的形 式 . 1） f ( x) x5 , x0 1 ； 2） f ( x) x4 2x2 3, x0 2; 3） f ( x) x4 2ix 3 (1 i) x2 3x 7 i , x0 1. 分析：假设 f ( x) 为 n 次多项式，令 f (x) c0 c1 (x x0 ) c2 ( x x0 ) 2 cn ( x x0 )n c0 (x x0 )[ c1 c2 ( x x0 ) cn ( x x0 ) n 1 ] c0 即为 x x0 除 f ( x) 所得的余式，商为 q(x) c1 c2 ( x x0 ) cn ( x x0 )n 1 .类似 可得 c1 为 x x0 除商 q( x) 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数 . 解： 1）解法一：应用综合除法得 . 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 5 1 3 6 1 1 3 6 10 1 4 1 1 4 10