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上海高二数学解析几何经典例题 轨迹方程 1、 已知反比例函数 y 1 的图像 C 是以 x 轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线． x （ 1）求双曲线 C 的顶点坐标与焦点坐标； （ 2）设 A1 、 A2 为双曲线 C 的两个顶点，点 M ( x0 , y0 ) 、 N ( y0 , x0 ) 是双曲线 C 上不同的两个动点．求直 线 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程； （ 3）设直线 l 过点 P ( 0, 4) ，且与双曲线 C 交于 A 、 B 两点， 与 x 轴交于点 Q ．当 PQ1 QA 2 QB ， 且 12 8 时，求点 Q 的坐标． 1页 共 12页 面积 2、 在平面直角坐标系 xOy 内，动点 P 到定点 F ( 1 , 0) 的距离与 P 到定直线 x 4 的距离之比为 1 ． （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； 2 （ 2）若轨迹 C 上的动点 N 到定点 M (m , 0) （ 0 m 2 ）的距离的最小值为 1，求 m 的值． （ 3）设点 A 、 B 是轨迹 C 上两个动点， 直线 OA 、OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1 、 B1 ，且直线 OA 、 OB 的斜率之积等于 3 ，问四边形 ABA1 B1 的面积 S 是否为定值？请说明理由． 4 2页 共 12页 定点 3、 动点 P 与点 F (0,1) 的距离和它到直线 l : y 1的距离相等，记点 P 的轨迹为曲线 C ． 求曲线 C 的方程； (2) 设点 A 0,a (a 2 ) ,动点 T 在曲线 C 上运动时， AT 的最短距离为 a 1 ，求 a 的值以及取到最小值 时点 T 的坐标； (3) 设 P1 , P2 为曲线 C 的任意两点，满足 OP1 OP2 ( O 为原点 )，试问直线 P1P2 是否恒过一个定点？如果 是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 3页 共 12页 定值 4、 已知椭圆 C : x2 y2 1(a b 0) 的右焦点为 F 1,0 ，且点 P(1,3) 在椭圆 C 上． a 2 b 2 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）过椭圆 C1 : x2 y2 1上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O : x2 y2 4 的两条切线，切点分别为 2 5 a b 2 3 3 M , N (M , N 不在坐标轴上） ，若直线 MN 在 x 轴， y 轴上的截距分别为 m, n, 证明： 1 1 为定值； 3m2 n2 （3）若 P1 , P2 是椭圆 C2 : x2 3 y2 1上不同的两点， PP12 x 轴，圆 E 过 P1 , P2 , 且椭圆 C 2 上任意一点都不 a 2 b 2 在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆 . 试问：椭圆 C2 是否存在过左焦点 F 1 的内切圆？若存在，求出圆 心 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4页 共 12页 新定义 5、曲线 C 是平面内到直线 l1 : x 1和直线 l2 : y 1的距离之积等于常数 k2 (k 0) 的点的轨迹， 设曲线 C 的 轨迹方程 f ( x, y) 0 ． （1）求曲线 C 的方程 f (x, y) 0 ； （2）定义：若存在圆 M 使得曲线 f ( x, y) 0 上的每一点都落在圆 M 外或圆 M 上，则称圆 M 为曲线 f (x, y) 0 的收敛圆．判断曲线 f ( x, y) 0 是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明 理由． 5页 共 12页 轨迹方程 1、 已知反比例函数 y 1 的图像 C 是以 x 轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线． x 1）求双曲线 C 的顶点坐标与焦点坐标； 2）设 A1 、 A2 为双曲线 C 的两个顶点，点 M ( x0 , y0 ) 、 N ( y0 , x0 ) 是双曲线 C 上不同的两个动点．求直 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程； （ 3）设直线 l 过点 P ( 0, 4) ，且与双曲线 C 交于 A 、 B 两点， 与 x 轴交于点 Q ．当 PQ 1 QA 2 QB ， 且 1 2 8 时，求点 Q 的坐标． 解：（ 1）顶点： A1 ( 1, 1) 、 A2 (1,1) ， 焦点： F1 ( 2, 2 ) 、 F2 ( 2, 2) 为焦点 （2）解一： A1M ： y 1 y0 1 (x 1) ， A2 N ： y 1 x0 1( x 1) --------------2 分 x0 1 y0 1 两式相乘，得 y 2 1 y0 1 x0 1 ( x2 1) ． 将 y0 1 代入上式，得 y 2 1 ( x