对勾函数图象性质（1）.pdf

对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数 f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总 喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ （接下来写作 f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0 ，b≠0 时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加” 而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状 酷似双勾。故称“对勾函数” ，也称“勾勾函数” 、“海鸥函数” 。如下图所示： a0 b0 a0 b0 对勾函数的图像（ab 同号） 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作 是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab 异号） 1 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的 一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定 a0 ，b0 。之后当a0 ，b0 时，根据对称就很 容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： b b b ( ) √ 当x0 时，f x = ax + ≥ 2 ab 当且尽当ax = 时取等号 ，此时x = 。 x √ ( x ) a b b b ( ) √ 当x0 时，f x = ax + ≤ −2 ab 当且尽当ax = 时取等号 ，此时x = − 。 x √ ( x ) a √b √b 即对勾函数的定点坐标：A:( , 2 ab) 、B:(− , −2 ab) √ √ a a (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值 域等性质。 { | }