第三十二讲 立体几何大题（解析版）2021届新课标全国卷高三数学（文）高考专题提升训练（27页）.docx

立体几何大题 题型一、距离有关计算 1.点到平面的距离： 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离 即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离） 结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短 2.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).如果一条直线平行与平面,则直线上的各点到平面的垂线段相等,即各点到的距离相等；垂线段小于或等于上任意一点与平面内任一点间的距离； 3．两个平行平面的公垂线、公垂线段： （1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线. （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段. （3）两个平行平面的公垂线段都相等. （4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长. 4．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离. 5.公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离. 两条异面直线的公垂线有且只有一条. 6.两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 【例题1】 （2019·全国·高考真卷） 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1 (1)求直线A1C与平面 (2)求点A到平面A1MC 【答案】解：(1)连结AC，因为长方体中AA1⊥平面ABCD，故∠A1CA即为A1C与平面ABCD所成夹角的平面角；故在Rt△A1AC中，tan∠A 即求直线A1C与平面ABCD的夹角为 (2)向量法：以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴建立空间直角坐标系； 则A(0,0,0),A1(0,0,5),C(3,4,0),M(3,0,2) 故平面A1MC的方程为x5+y10+z5=1，故其法向量n→ 【例题2】 （2015·广东·高考真卷） 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3． （1）证明：BC?//?平面 （2）证明：BC⊥ （3）求点C到平面PDA的距离． 【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC?//?AD，因为BC?平面PDA，AD?平面PDA，所以BC? 证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC? 因为PD?平面PDC，所以BC （3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE=PD2-DE2=42-32=7．因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PDC，所以PE⊥平面ABCD．由（2）知：BC⊥平面PDC，由（1）知：BC?//?AD，所以AD⊥平面PDC 【例题3】 （1995·高考真卷） 如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足． （1）求证：AF⊥ （2）如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π 【答案】 （1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，∵ EB?平面ABE，∴ DA⊥EB，∵ AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴ AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，∵ AF?平面DAE，∴ EB⊥AF，又AF⊥DE （2）解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥ S△ABD=12AB?AD=ah 【例题4】 （1994·高考真卷） 如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是 （1）证明AB1? （2）假设AB1⊥BC1， 【答案】（1）证明：∵ A1B1C1-ABC是正三棱柱，∴ 四边形B1BCC1是矩形．连接B1C，交BC1于E，则B1E=EC．连接DE．在△A （2）解：作AF⊥BC，垂足为F．因为面ABC⊥面B1BCC1，所以AF⊥B1BCC1平面B1F．连接B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影．∵ BC1⊥AB1，∴ BC1⊥B1F． 【例题5】 （2018·河南·高考模拟） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，2AD=CD=PD=2，PA=5，二面角P-AD-C为120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上，且AF=12．(Ⅰ 【答案】证明：(Ⅰ)∵ AP2=PD2+AD2，∴ AD⊥PD，又AD⊥DC，∴ AD⊥平面PCD，-----3分又AD?平面ABCD，∴ 平面PCD⊥平面ABCD．????????