《拉格朗日中值定理的证明及应用》.pptVIP

拉格朗日中值定理的证明及应用 一、定义：如果函数 满足： 1、在闭区间 上连续 2、在开区间 内可导 则至少存在一点 ，使得 二、证明方法 可以利用弦倾角法做辅助函数 做辅助函数 由图得： 则有： 那么可以令 则有 由罗尔定理得：当 时，至少存在 一个数 使 ，即 最后得出 ,即 ∴ 三、拉格朗日中值定理的应用 1、证明等式 2、证明不等式 3、研究导数和函数的性质 4、证明有关中值问题的结论 5、判定方程根的存在性和唯一性 6、利用中值定理求极限 在 上连续, 在 证明存在 内可导, 且 使 由于 上满足拉氏中值定理条件, 且 在 例1：设 证明等式 所证结论左边为 证:∵ 设辅助函数 即存在一个 使 ∴原式成立 例2：设函数 证明 在 内有界。 证：取点 ，再取异于 的点 ， 对 在以 为端点的区间上用拉式中值定 ， 理得： 界于 与 之间 （ ） 则有： 内可导，且 在 令 ，则对任意 有 ，即 内有界。 在