《拉普拉斯积分变换》.ppt

* 二、拉氏逆变换 在实际应用中常会碰到的问题是：已知象函数 求它的象原函数f(t)。 由拉氏变换的概念可知，函数 的拉氏变换就是 的傅氏变换。 * 于是，当 满足傅氏积分定理的条件时， 按傅氏积分公式，在 连续点处有: * 等式两边乘以 ，并考虑到它与积分变量 无关，则 令 ，有 这就是从象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式，右端的积分称为拉氏反演积分。 * 此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来 比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用 留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s) 为有理函数时更为简单。 * 定 理 若 是函数 的所有奇点（适当选取 使这些奇点全在 的范围内），且当 时， ，则有 即 * 例1：求 的逆变换。 解 : F(s)有两个一级极点 由拉氏反演积分公式得 * 例2： 求 的逆变换。 解: s=0 为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积 分公式得 * 例3： 求 的逆变换。 解 : 利用部分分式的方法将F(s)化成 所以 * 卷 积 拉氏变换的卷积性质，不仅被用来求某些函数的逆变换及一些积分值，而且在线性系统的分析中起着重要的作用。 * 1. 卷积的概念 傅氏变换中两个函数的卷积是指 在拉氏变换中函数 如果都满足条件：当t0时， 则上式可写成 今后如不特别声明，都假定这些函数在t0时恒为零。 * 例1 求函数 和 的卷积， 即求 。 解：根据定义得： * 卷积的性质： * 2. 卷积定理 假定 ， 满足拉氏变换存在定理中的条件， 且 ，则 的拉 氏变换一定存在，且 或 * 推论 若 满足拉氏变换存在定理中 的条件，且 ，则有 在拉氏变换的应用中，卷积定理起着十分重要的作用。下面举例说明它在求函数的逆变换中的应用。 * 例2 设 ，求f(t)。 解: 令 则 根据卷积定理和例1得 * 例3 设 ，求f(t)。 解： 所以 * 例4 设 ，求f(t)。 解： 根据位移性质， 所以 * * 微分方程的拉氏变换解法 利用拉氏变换的线性性质和微分性质来解常微分方程，其方法是先取拉氏变换把微分方程化为象函数的代数方程，根据这个代数方程求出象函数，然后再对象函数取逆变换就得出原来微分方程的解。解法的的过程如下图所示。 * 象 函 数 象 原 函 数 (微分方程的解) 象 函 数 的 代 数 方 程 微 分 方 程 取拉氏逆变换 解代数 方程 取拉氏变换 * 例1 求方程 的解。 满足初始条件 解: 设L[y(t)]=Y(s)。在方程两边取拉氏变换，并 考虑到初始条件，得 这是含未知量Y(s)的代数方程，整理后解 出Y(s)，得所求函数的拉氏变换 * 取它的逆变换便可以得出所求函数y(t)。 取逆变换得到所求微分方程的解 * 例2 求方程组 满足初始条件 的解。 解 设L[y(t)]=Y(s),L[x(t)]=X(s)，对方程组两个 方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件得 * 整理化简后得 解这个方程组得 * * 例2 拉普拉斯积分变换 * 1． 拉氏变换的概念 定义 设函数 当 时有定义，而且积分 （s是一个复参量） 在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数 称为函数 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式） 记为 F(s)称为 的拉氏变换（或称为象函数）。 一、拉氏变换 * 若F(s)是 的拉氏变换，则称 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为 可以看出， 的拉氏变换，实际上就是 的傅氏变换。 * 例1 求单位阶跃函数 的拉氏变换。 解 由拉氏变换的定义 此积分在 时收敛，且 所以 * 例2 求指数函数 的拉氏变换（k为 解