《拉格朗日函数》.ppt

P190 6 拉格朗日函数 一、多元函数的极值和最值 一、多元函数的极值和最值 1、多元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值 的点称为极值点. 设P?Rn, 函数u=f(p)在p0的某邻域U(p0, ?)内有 定义，对任何p ? U(p0, ?), p?p0, 都有f(p)f(p0), 称函数u=f(p)在p0点有极大值；若f(p)f(p0), 称 函数 u=f(p)在p0点有极小值。 (1) (2) (3) 例1 例２ 例３ 2、多元函数取得极值的条件 证 前提：多元函数在（X0,Y0）处有偏导。 注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为 函数的驻点. 驻点 极值点 如何判定驻点是否为极值点？ 注意： 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 3、多元函数的最值 第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M， 最小者为m．故M=25，m=9． 解 (舍去x1) 解 由 ? x=y 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 ．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果． 问题的实质：求 在条件 下的极值点． 二、条件极值拉格朗日乘数法 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 解 则 ? 2x=3y, y=2z 解 可得 即 1. 在椭圆 上求一点，使其到直线 的距离最短。 解 设P(x，y)为椭圆 上任意一点，则P到直线 的距离为 求d 的最小值点即求 的最小值点。作 由lagrange乘数法，令 得方程组 解此方程组得 于是 由问题的实际意义最短距离存在，因此 即为所求点。 3. 解 分析: 得