《曲线的极坐标方程》.pptVIP

曲线的极坐标方程; 5?2 曲线的极坐标方程 在极坐标系中，用???，??=0表示曲线的方 程 。 一些基本曲线的方程： ?=r ?=?0 (??0) ?=?0 (??R) ; ; ; ; P47 三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 动点M到定点(焦点)F与到定直线(准线)L的 距离的比为e，求点M的极坐标方程。 分析：以焦点F为极点， 如图建立极坐标系。F到L 的离|FK|=p，M??，??为轨 轨上的任一点。 把条件 —— = e，用极坐标表示————=e 解出 ?= ————; 上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 ; 圆锥曲线极坐标方程的应用 例 5 (1) 以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。 分析：设所求的抛物线的极坐标方程为 ?= ———— ，基中e=1，p是焦点到准线的 距离，p= —，代入上式得所求的抛物线 ?= ———— = ————; (2) 以椭圆 — + — = 1的左焦点为极点，长轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求椭的极坐标方程。 分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的 极 坐标方程为 ?= ———，由椭圆的直角坐标 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= —， p= -3+ — = —，代入上式 ?= ————= ————; 例 6 通过抛物线y2=8x的焦点F，作一条倾斜 角为?/4的直线，交抛物线于A、B两点，求 焦点弦|AB|的值。 分析：可用以往学过 的方法求焦点弦的长。 也可建立极坐标系解决。 点F为极点，x轴正半轴 为极轴，它的极坐标方程为 ?= ———，?1= ————，?2= ———— |AB|= ?1 + ?2=…=16; P52 5?3 极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系xoy的 原点为极点，x轴的正方 向为极轴，点M的直角 坐标为(x，y)，它的极 坐标为(?，??，根据三角 函数定义，同一点M的两种坐标有下面关系 x= ?cos? ， y=?sin? ， ?2=x2+y2 ，tg ?= — (x=0) 一般，根据M所在象限 ，?取最小的正角。 ; 公式的应用 例 把点M的极坐标(-5，—)化成直角坐标 直接代入公式计算 x=?cos?= -5cos?/6 =(-5/2)?3 y=?sin? = -5sin?/6= - 5/2 点M的直角坐标是(- ——，- —) 例 把点M的直角坐标(-?3，-1)化为极坐标 极径取正值 ?=…=2 极角 ?： tg? = —，?= ——… ; 同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 P54 例 3 化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为 极坐标方程。 解题时，应用公式，注意整体替代。把 x2+y2=?2，x=?cos?代入直角坐标方程得 ?2-2a?cos? = 0??(?-2acos?)=0 所示的极坐标方程是?=0或?-2acos? =0 ? =0 是极点， ?=2acos? 表示以(a，0)为圆心，a为 半径，且过极点的圆，所以 ? =0不必写出来。; 例 5 化?=-4sin?+cos? 为直角坐标方程 解题注意整体替代。 把原极坐标方程两边同乘? ?2 =-4 ?sin? + ?cos? ， ?2 =x2+y2 ， ?cos? = x， ?sin? = y，它的直角坐标方程 是x2+y2=-4y+x ? (x- —)2+(y+2)2= —— 在直角坐标系xoy中 方程表示的是以(—，-2)为 圆心 ，——为半径的圆。 ; 把极坐标方程?2sin2? =2tg?化为直角坐标方程 解：把原方程化为?sin? ? ?cos? = tg ? x= ?cos? ，y= ?sin? ，— = tg? 它的直角坐标方程是 xy= — ? y(x2-1)=0 ? y (x-1) (x+1)= 0 从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线 是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的 是三条直线：y=0或x=1或x=-1