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第十二章 扭转与弯曲的几个补充问题 内容提要 矩形截面直杆的扭转 a．变形特点 观测表明，矩形截面杆扭转时，其横截面不再保持为平面而发生翘曲（图12.1），因此圆周扭转时的平面假设在此不再成立，圆轴扭转时的应力、变形公式也不再适用。 b．扭转切应力 由切应力互等定理可知，截面周边各点处的切应力一定沿着周边切线方向，而在截面的角点处，切应力为零。横截面上切应力分布如图12.2所示。 c．应力和变形的计算 最大切应力发生于横截面长边的中点处，其值为 　　　　　　 （12.1） 称为矩形截面的扭转截面系数。横截面短边上最大切应力为 （12.2） 杆件上相距为的两截面相对扭转角为 　（12.3） 　　　　　　　　　　　　　　　　　 称为矩形截面的扭转惯性矩。以上各式中的系数、、和矩形截面的长边与短边的比值有关，其数值已列入教材表12.1中。 当10时，截面成狭长矩形。这时。如以狭长矩形的短边长度，则和分别为 　　　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　（12.4） 2．薄壁杆件的自由扭转 开口薄壁杆件的自由扭转 由图12.4所示，开口薄壁截面可以看成若干狭长的矩形所组成的组合截面，则截面扭转惯性矩为 　　　　　　　　　　（12.5） 组合截面的最大切应力将发生在壁最厚的矩形的长边上，其值为 　　　　　　　　　　　　　（12.6） 对于各种型钢，由于圆角及壁厚不均匀的影响，还要给予修正，其修正公式为 闭合薄壁杆件的自由扭转 其横截面上任意一点处切应力的计算公式为 　　　　　　　　　　　　　（12.7） 式中为薄壁中线所围成的面积，为该点处的壁厚。由于壁厚沿中线是变化的，则最大切应力应发生在壁厚最薄处，即 　　　　　　　　　　　　（12.8） 闭合薄壁杆件上相距为的两截面相对扭转角为 （12.9） 若杆件的壁厚不变，上式化为 　　　　　　　　　　　　　（12.10） 3．非对称弯曲 非对称弯曲主要讨论梁无纵向对称面，或虽然有纵向对称面，但载荷并不在纵向对称面内的情况。 如图所示，以梁的轴线为轴，横截面上通过形心的任意两根相互垂直的轴为和轴。设纯弯曲力偶矩在平面内，并将其记为。对当前讨论的纯弯曲问题，仍采用§3.8中提出的两各假设，即⑴平面假设；⑵纵向纤维间无正应力。从而可推得在平面内作用纯弯曲力偶矩时，横截面上任一点的正应力为 （12.12） 同理可得在平面内作用纯弯曲力偶矩时，横截面上任一点的正应力为 （12.13） 对于一般性问题，即在包含杆件轴线得任意纵向平面内，作用一对纯弯曲力偶。这时可把作用于杆件两端的弯曲力偶分解成分别在和平面内的力偶矩和，然后将两者作用的结果叠加，即 （12.14） 另式（12.13）左端为零，不难得到中性轴与轴的夹角为 （12.15） 讨论两种特殊情况： ⑴ 若只在平面内作用纯弯曲力偶矩，且平面为形心主惯性平面，即、轴为截面的形心主惯性轴，则因，，公式（12.13）化为 （12.16） 而且，由式（12.15）可得出，故中性轴与轴重合，弯曲为平面弯曲。 ⑵ 若和同时存在，且它们的作用平面和皆为形心主惯性平面，即、轴为截面的形心主惯性轴，则因，公式（12.14）化为 （12.17） （12.18） 4．开口薄壁杆件的弯曲切应力弯曲中心 若横向力作用平面不是纵向对称面，即使是形心主惯性平面，如图12.10a所示，杆件除弯曲变形外，还将发生扭转变形。只有当横向力通过截面的某一特定点时，杆件才只有弯曲变形而无扭转变形（图12.10b）。横截面内这一特定点被称为弯曲中心或剪切中心，简称为弯心。 当外力通过弯曲中心且平行于截面的形心主惯性轴时，可得弯曲切应力的计算公式为 　　　　　　　　　　　　 为了确定的作用线的位置，可选定截面内任意点作为力矩中心（图12.11b），由合力矩定理可得 　　　　　　　　　　　　（12.19） 式中是对点的力臂；是微内力对点的力臂。从上式中解出，就确定了作用线的位置。 当外力通过弯曲中心且平行于截面的形心主惯性轴时，可得弯曲切应力的计算公式为 　　　　　　　　　　　　 同样可得到确定的作用线的位置的公式为 　　　　　　　　　　　 （12.20） 因为和都通过弯曲中心，两者的交点就是弯曲中心。 5．用有限差分法计算弯曲变形 有限差分法是一种数值方法