z=yf(xy,x+y),f有二阶连续偏导数，求其一阶偏导数和二阶混合偏导数.doc

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2020-10-28 发布于新疆
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z=yf(xy,x+y),f有二阶连续偏导数，求其一阶偏导数和二阶混合偏导数.doc

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davidee 已知z=yf(xy,x+y)，f有二阶连续偏导数，求?z/?x，?z/?y， ?2z/?x?y。本题可以通过直接法和求全微分的方法来求所求的偏导数。解：一、直接求导法 ?z/?x=y(f1y+f2*1)=y2f1+yf2; ?z/?y=f(xy,x+1)+y(f1x+f2*1) =f(xy,x+1)+xyf1+yf2; 进一步求二阶偏导数得： ?2z/?x?y=?(y2f1+yf2)/?x; =2yf1+y2(f11x+f12)+f2+y(f21x+f22) =2yf1+xy2f11+y2f12+f2+xyf21+yf22 =2yf1+xy2f11+y(y+x)f12+f2+yf22。二、全微分法 dz=f(xy,x+1)dy+y[f1(ydx+xdy)+f2(1dx+1dy)] =f(xy,x+1)dy+f1y2dx+xyf1dy+yf2dx+yf2dy =(f1y2+yf2)dx+[f(xy,x+y)+xyf1+yf2]dy 即： ?z/?x=f1y2+yf2, ?z/?y=f(xy,x+y)+xyf1+yf2, 进一步得： ?2z/?x?y =(f11＂x+f12＂)y2+2yf1+f2+y(f21＂x+f22＂) =xy2f11＂+y2f12＂+2yf1+f2+xyf21＂+yf22＂ =xy2f11＂+y(y+x)f12＂+2yf1+f2+yf22＂。 davidee