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第一章 n阶行列式
在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式,并且利用它们来解二元、
三元线性方程组. 为了研究 元线性方程组,需要把行列式推广到 nn
阶,即讨论n阶行列式的问题. 为此,下面先介绍全排列等知识,然
后引出n阶行列式的概念.
§1 全排列及其逆序数
先看一个例子.
引例 用1、2、3 三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三
位数?
解 这个问题相当于说,把三个数字分别放在百位、十位与个位
上,有几种不同的放法?
显然,百位上可以从 1、2、3 三个数字中任选一个,所以有 3
种放法;十位上只能从剩下的两个数字中选一个,所以有两种放法;
个位上只能放最后剩下的一个数字,所以只有1 种放法. 因此,共有
3 2 16 种放法.
这六个不同的三位数是:
123,132,213,231,312,321.
在数学中,把考察的对象,如上例中的数字1、2、3 叫做元素. 上
述问题就是:把3 个不同的元素排成一列,共有几种不同的排法?
对于n个不同的元素,也可以提出类似的问题:把n个不同的元
素排成一列,共有几种不同的排法?
把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列,简称排
列.
n个不同元素的所有排列的种数,通常用P 表示. 有引例的结果
n
可知 P =3 . 2 . 1 = 6 .
3
1
为了得出计算P 的公式,可以仿照引例进行讨论:
n
从n个元素中任取一个放在第一个位置上,有n种取法;又从剩
下的n-1 个元素中任取一个放在第二个位置上,有n-1 种取法;
这样继续下去,直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上,只
有1 种取法. 于是
.
-
. … . . .
P =n (n 1) 3 2 1 = n! .
n
对于n个不同的元素,我们规定各元素之间有一个标准次序(例
如n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这n个
元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就
说有1 个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排
列.
下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.
不失一般性,不妨设n个元素为1 至n这n个自然数,并规定由
小到大为标准次序. 设
p p p
1 2 n
为这n个自然数的一个排列,考虑元素 p (i1,2, , n) ,如果比p
i i
p t p t
大的且排在 前面的元素有 个,就说 这个元素的逆序数是 .
i i i i
全体元素的逆序数之总和
n
tt t t t
,
1 2 n i
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