傅里叶积分变换[整理].ppt

例6 求指数衰减函数 的频谱。 解 根据例1的结果， 所以指数衰减函数的频谱 例7 作单位脉冲函数 及其频谱图。 解 由于 所以单位脉冲函数的频谱 及其频谱图表示在图1-11中。 图1-11 同样，当 时， 。 而f ( t )的振幅频谱为 在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。 6. 傅氏变换的性质 本节将介绍傅氏变换的几个重要性质，我们假定在这些性质中，求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件，并设 是常数。 F F a. 线性性质 （1） F 证明：只需根据定义就可推出。 傅氏逆变换也具有类似的线性性质 这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合。 （2） b.位移性质 F F （3） 这表明时间函数f(t)沿t轴向左向右位移t0的傅氏变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子 或 。 证 由傅氏变换的定义，可知 F F （令 ） 同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即 （4） 这表明频谱函数 沿 轴向左向右位移 的傅氏变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子 或 。 例1 求矩形单脉冲 的频谱函数。 解1 根据傅氏变换的定义，有 解2 前面介绍的矩形单脉冲 的频谱函数为 因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移 得到，利用位移性质有 F =F 且 c.微分性质 若f(t)在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点，且当 , 则 证 由傅氏变换的定义，并利用分部积分可得 这表明一个函数导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子 。 F F F F 若 在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点，且 推论： 则有 （6） 同样，可得象函数的导数公式。设 ，则 = -j 一般地，有 （7） F F F F F d. 积分性质 如果当 时， ，则 （8） 证 因为 所以 根据微分性质： 故（8）式成立。这表明：一个函数积分后 的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以因子 。 F F F F F F 例2 求微分积分方程 的解，其中 均为常数。 解 记 在方程式两边取傅氏变换，并利用傅氏变换的微分性质和积分性质可得 F F 求上式的傅氏逆变换，可得 这就是此微分积分方程的解。 运用傅氏变换的线性性质、微分性质以及积分性质，可以把线性常系数微分方程转化为代数方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，就可以得到此微分方程的解。 傅氏变换还是求解数学物理方程的重要方法之一，其计算过程与解常微分方程大体相似。 e. 乘积定理 若 则 （9） 其中 均为t的实函数，而 分别为 的共轭函数。 F F 证 因为 ，而 是时间t的实函数，所以 故 同理可得 f. 能量积分 若 ，则有 （10） 此式又称为帕塞瓦尔（Parseval）等式。 证 在（9）式中，令 ，则 * 精品PPT·编辑可用 精品PPT·编辑可用 * 精品PPT·编辑可用 精品PPT·编辑可用 * 精品PPT·编辑可用 精品PPT·编辑可用 * 精品PPT·编辑可用 精品PPT·编辑可用 配色花哨 文字多 套用模板 套用模板 逻辑不清 内容空洞 太土 太杂 太乱 太繁 “ ” 精品PPT·实用可编辑 积分变换 * 精品PPT·值得借鉴 §1 傅里叶（Fourier）积分变换 §2 拉普拉斯(Laplace)积分变换 主要内容 注：积分变换的学习中，规定： §1 傅里叶（Fourier）积分变换 * 精品PPT·值得借鉴 傅里叶变换——又简称为傅氏变换 内容： 傅氏变换概念 卷积与相关函数 傅氏变换性质 一、傅氏变换 1．傅氏积分定理 若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件： （1） f(t)在任一有限区间上满足条件： f(t)至多有有限