数值分析讲义——线性方程组的解法.pdf

数值分析讲义 第三章 线性方程组的解法 §3.0 引言 §3.1 雅可比(Jacobi)迭代法 §3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 §3.3 超松驰迭代法 §3.7 三角分解法 §3.4 迭代法的收敛性 §3.8 追赶法 §3.5 高斯消去法 §3.9 其它应用 §3.6 高斯主元素消去法 §3.10 误差分析 §3 作业讲评3 §3.11 总结 §3.0 引 言 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特 殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及 定量分析商业经济中的各种问题. 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法. (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的 运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全 都受到Gauss消去法的启发.计算代价高. (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列. 收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实 用,诱人. §3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX=b) 1 基本思想: 与解f(x)=0 的不动点迭代相类似,将AX=b改写为X=BX+f 的形式,建立 k+1 (k) 雅可比方法的迭代格式：X =BX +f ,其中，B称为迭代矩阵.其计算精度可 控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{X }是否收敛以及收敛条件?k 3 例题分析: 10x x 2x 7.2   1 2 3 考虑解方程组x 10x 2x 8.3 (1)  1 2 3 x x 5x 4.2  1 2 3 * 其准确解为X ={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式： x 0.1x 0.2x 0.72  1 2 3 x 0.1x 0.2x 0.83 (2) 2 1 3 x 0.1x 0.2x 0.84  3 1 2 据此建立迭代公式：  (k1) (k) k x 0.1x 0.2x 0.72 1 2 3 (k1) (k) (k) x 0.1x 0.2x 0.83 (3) 2 1 3 (k1) (k) (k) x 0.1x 0.2x 0.84 