计算方法课件 2.2 向量范数和矩阵范数.pptVIP

本节内容提要 向量的范数 基本概念、常用的几种向量范数、 等价性、向量之间的距离 矩阵的范数 基本概念、常用的几种 矩阵范数、基本性质　　　　　　 §2.2 向量范数和矩阵范数 向量的范数 前面提过 的解法除了直接方法（Gauss消去法、 三角直接分解法）以外，还可以采用迭代法，其基本思想 是构造一个解向量序列 ，并讨论 的收敛性 问题，为此需要给出两向量之间的距离以及向量的“大小” 问题，我们引入范数的概念。 如：空间直角坐标系中， 它满足三个条件：① 非负；② 齐次；③ 三角不等式； 1、定义： 注：向量范数不唯一； 2、常用的几种向量范数 （由Minkowski不等式： ） 特别：① ② ③ 夹逼定理 例： 3、等价性 n维实空间中定义的任何向量范数等价，即有： 常用几种范数之间的等价性体现在以下几组关系式： ① ② ③ ④ 4．向量之间的距离： 有了距离的概念，可以考虑向量序列的收敛性： 证明中常用不等式： ——Cauchy-Schwarz不等式 矩阵的范数 1、定义： 2、常用的几种矩阵范数 ——列和最大 ——行和最大 ——理论上多用 注： ——Frobenius范数 3、基本性质 ① 非负性： ② 齐次性： ③ 三角不等式： ④ 相容性： ⑤ ——谱半径的上界为任一矩阵范数 证明： 例： 3. 病态方程组与扰动方程组的误差分析 病态方程组 扰动方程 由于计算机字长限制，在解Ax=b时，舍入误差是不可避免的。因此我们只能得出方程的近似解 是方程组（A+△A）x=b+ △b (1) 在没有舍入误差的解。称方程(1)为方程Ax=b的扰动方程。其中△A, △b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向量。当△A, △b的微小扰动,解得(1)的解与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程，否则为病态方程。 3. 2 矩阵的条件数 矩阵的条件数的性质 相对误差的事后估计 * * * *