计算方法课件 6.2 正交多项式.pptVIP

本节内容提要 正交函数系 权函数、内积与范数、　　 正交多项式 性质、常见正交多项式 插值余项的近似极小化 最佳平方逼近 6.2 正交多项式 最小二乘法曲线拟合是实验数据处理的常用方法，使拟合函数在一系列离散点与观测值的偏差平方和达到最小。 但当正规方程阶数较高时，往往出现病态，有效的改进方法之一是引入正交多项式以改善其病态性。。 在高等数学中介绍傅立叶级数时，曾提到函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…cosnx,sinnx,… 由于任意两个函数乘积在区间[-?，?]上的积分都等于零，则称该函数系在[-?，?]上是正交的，并称这个函数系为正交函数系。 定义：设连续函数f (x),g(x)?[a,b],且? (x)非负，若 则称f (x)与g(x)在[a,b]上带权? (x)正交, 1、正交函数系 在[a,b]上连续的函数?0(x), ?1(x), ?2(x),... ?k(x)..., 满足 则称该函数系是在区间[a,b]上带权? (x)正交函数系. 设[a,b]是有限或无限区间, ? (x)是定义在[a,b]上的非零可积函数，若其满足 则称? (x)是[a,b]上的一个权函数。 权函数 内积与范数 设f (x),g(x) ?C [a,b] ，? (x)是[a,b]上的一个权函数，称 为f (x)与g(x)在为 [a,b]上以权函数? (x)的内积。 显然，对于任意实数a,b,有 称 为f (x)的带权? (x)的2-范数。 内积性质： ① ② ③ ——非负性 ——线性性 ——对称性 定理 2、正交多项式 最高幂项的系数 的n次多项式 若满足 则 称为[a,b]上带权? (x)正交， 称为[a,b]上带权? (x)正交的n次正交多项式。 常见的正交多项式 勒让德多项式(Legendre) 切比雪夫多项式(Chebyshev) 拉盖尔多项式(Laguerre) 埃尔米特多项式 (Hermite) 定理2 设{ gn(x)}是[a,b]上带权? (x)的正交多项式系，则对于任何次数不高于n -1的多项式q(x),总有 (q(x), gn(x) )=0 (n =1,2,…） 定理4 任何相邻的三个正交多项式,都具有下列递推关系式 gn+1(x)=(?n x-?n) gn(x)-?n-1gn-1(x) 定理1 [a,b]上带权? (x)的正交多项式系{ gn(x)}一定是[a,b]上线性无关的函数系。 定理3 n次正交多项式 gn(x)有n个互异实根，且全部落在(a,b)内。 正交多项式的性质 勒让德多项式(Legendre) [-1,1] , ?(x)=1 递推关系: P0(x)=1, P1(x)=x, Tn(x)=cos(narccosx) 切比雪夫多项式(Chebyshev) 递推关系: T0(x)=1 , T1(x)=x , T2(x)=2x2-1 , T3(x)= 4x3-3x,……… 零点 极值 奇偶性 极性 拉盖尔多项式(Laguerre) [0,+?), ?(x)=e-x 埃尔米特多项式 (Hermite) (-? ,+?), ?(x)=e-x2 3、插值余项的近似极小化 插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的， 它要求插值函数与被插函数在插值节点上函数值相同，而在其他点上没有要求。在非插值节点上有时函数值会相差很大。 4、 最佳平方逼近 若要求在被插函数的定义区间上，所选近似函数都能与被插函数有较好的近似，就是最佳逼近问题。 最佳逼近是在函数空间 M中选 满足 但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为 于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题, 而离散的最佳平方逼近问题就是曲线拟合 它们都可用最小二乘法求解。 正规方程组(法方程) 驻点方程组 ——正规方程组 例 设 求f (x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式. 解 设 由于 故法方程为 解得 * *